Dérivation et convexité

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Problème 1 : Optimisation de la surface d'une boîte de conserve

Énoncé

On souhaite concevoir une boîte de conserve cylindrique fermée de volume fixé

V = 1 \text{ dm}^3

(

1000 \text{ cm}^3

). On note

r

le rayon de la base du cylindre (en cm) et

h

sa hauteur (en cm).

Exprimer le volume $V$ en fonction de $r$ et $h$ . En déduire $h$ en fonction de $r$ .
Montrer que l'aire totale $S(r)$ de la boîte de conserve (les deux bases circulaires et la paroi latérale) est donnée par :

S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}

Étudier les variations de la fonction $S$ sur $]0, +\infty[$ .
En déduire le rayon $r_0$ (en cm) qui permet de minimiser la quantité de métal utilisée pour fabriquer cette boîte. Calculer alors la hauteur correspondante $h_0$ et montrer que $h_0 = 2r_0$ .

Solution :

Le volume d'un cylindre est donné par : $V = \pi r^2 h$ . Puisque $V = 1000$ , on a $\pi r^2 h = 1000 \implies h = \frac{1000}{\pi r^2}$ .

L'aire totale est la somme de l'aire latérale et de l'aire des deux bases :

S(r) = 2 \times (\pi r^2) + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{1000}{\pi r^2} \right) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}

La fonction $S$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ :

S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = \frac{4\pi r^3 - 2000}{r^2} = \frac{4(\pi r^3 - 500)}{r^2}

Le dénominateur

r^2

étant positif, le signe de

S'(r)

est celui de

\pi r^3 - 500

S'(r) \ge 0 \iff \pi r^3 - 500 \ge 0 \iff r^3 \ge \frac{500}{\pi} \iff r \ge \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5,42 \text{ cm}

La fonction

S

est donc strictement décroissante sur

\left]0, \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}\right]

et strictement croissante sur

\left[\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}, +\infty\right[

L'aire est minimale pour le rayon :

r_0 = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5,42 \text{ cm}

Calculons la hauteur

h_0

correspondante en utilisant

r_0^3 = \frac{500}{\pi}

h_0 = \frac{1000}{\pi r_0^2} = \frac{2 \times 500}{\pi r_0^2} = \frac{2 \times (\pi r_0^3)}{\pi r_0^2} = 2r_0

La hauteur optimale est égale au diamètre du cylindre, ce qui donne une boîte bien proportionnée.

Problème 2 : Recherche de tangentes communes

Énoncé

On considère la courbe

\mathcal{C}_1

associée à la fonction

f(x) = x^2

et la courbe

\mathcal{C}_2

associée à la fonction

g(x) = -x^2 + 2x - 3

. Déterminer s'il existe une ou plusieurs droites tangentes simultanément à

\mathcal{C}_1

\mathcal{C}_2

. Si oui, donner leurs équations.

Solution : Soit $a$ l'abscisse du point de tangence sur $\mathcal{C}_1$ et $b$ l'abscisse du point de tangence sur $\mathcal{C}_2$ .

L'équation de la tangente $\mathcal{T}_a$ à $\mathcal{C}_1$ en $a$ est (avec $f'(x) = 2x$ ) :

y = f'(a)(x-a) + f(a) \implies y = 2ax - 2a^2 + a^2 \implies y = 2ax - a^2

L'équation de la tangente $\mathcal{T}_b$ à $\mathcal{C}_2$ en $b$ est (avec $g'(x) = -2x+2$ ) :

y = g'(b)(x-b) + g(b) \implies y = (-2b+2)(x-b) - b^2 + 2b - 3 \implies y = (2-2b)x + b^2 - 3

Les deux droites sont confondues si et seulement si leurs coefficients directeurs et leurs ordonnées à l'origine sont égaux, d'où le système :

\begin{cases} 2a = 2 - 2b \\ -a^2 = b^2 - 3 \end{cases} \iff \begin{cases} a = 1 - b \\ -(1 - b)^2 = b^2 - 3 \end{cases}

En développant la seconde équation :

-(1 - 2b + b^2) = b^2 - 3 \iff -1 + 2b - b^2 = b^2 - 3 \iff 2b^2 - 2b - 2 = 0 \iff b^2 - b - 1 = 0

Le discriminant est

\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5 > 0

. Les solutions pour

b

sont

b_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}

b_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

Si $b = b_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ , alors le coefficient directeur est $m_1 = 2-2b_1 = 1+\sqrt{5}$ , et $a_1 = 1-b_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ . L'ordonnée à l'origine est $-a_1^2 = -\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 = -\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ . L'équation de la première tangente commune est : $y = (1+\sqrt{5})x - \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ .
Si $b = b_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ , alors le coefficient directeur est $m_2 = 2-2b_2 = 1-\sqrt{5}$ , et $a_2 = 1-b_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . L'ordonnée à l'origine est $-a_2^2 = -\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2 = -\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ . L'équation de la deuxième tangente commune est : $y = (1-\sqrt{5})x - \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ .

Il existe donc exactement deux tangentes communes aux deux courbes.

Problème 3 : Étude d'une fonction logarithme et branches infinies

Énoncé

Soit la fonction

f

définie sur l'intervalle

]0, +\infty[

par :

f(x) = x - 1 + \frac{\ln(x)}{x}

On note

\mathcal{C}_f

sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Calculer la limite de $f$ en $0^+$ . Donner une interprétation géométrique du résultat.
Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ , puis montrer que la droite $D$ d'équation $y = x - 1$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ .
Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $D$ .
Calculer la dérivée $f'(x)$ et montrer que pour tout $x > 0$ :

f'(x) = \frac{x^2 + 1 - \ln(x)}{x^2}

On admet que pour tout $x > 0$ , $x^2 + 1 - \ln(x) > 0$ . Dresser le tableau de variations de $f$ .
Démontrer que $f$ réalise une bijection de $]0, +\infty[$ sur $\R$ .

Solution :

En $0^+$ : On a $\lim_{x \to 0^+} (x-1) = -1$ . Puisque $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ , on a par produit $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = -\infty$ . Par somme de limites, on en conclut :

\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty

Interprétation géométrique : La droite d'équation

x = 0

(l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe

\mathcal{C}_f

En $+\infty$ : On a $\lim_{x \to +\infty} (x-1) = +\infty$ . D'après le cours sur les croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ . Par somme :

\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

Pour l'asymptote oblique : calculons la différence

f(x) - (x-1)

\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x-1)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0

La droite

D

d'équation

y = x-1

est donc bien une asymptote oblique à la courbe

\mathcal{C}_f

+\infty

Étudions le signe de la différence $f(x) - (x-1) = \frac{\ln(x)}{x}$ sur $]0, +\infty[$ : Le dénominateur $x$ étant strictement positif, la différence est du signe de $\ln(x)$ :

Si $0 < x < 1$ , $\ln(x) < 0$ : la courbe $\mathcal{C}_f$ est située en dessous de la droite $D$ .
Si $x > 1$ , $\ln(x) > 0$ : la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D$ .
Si $x = 1$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $D$ se coupent au point de coordonnées $(1, 0)$ .

La fonction $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ comme somme de fonctions dérivables :

f'(x) = 1 - 0 + \frac{\frac{1}{x} \times x - \ln(x) \times 1}{x^2} = 1 + \frac{1 - \ln(x)}{x^2} = \frac{x^2 + 1 - \ln(x)}{x^2}

D'après l'indication, $x^2 + 1 - \ln(x) > 0$ pour tout $x > 0$ . De plus, $x^2 > 0$ . La dérivée $f'(x)$ est donc strictement positive sur $]0, +\infty[$ . La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ .

La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l'intervalle $I = ]0, +\infty[$ . D'après le théorème de la bijection, $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle image $J = f(I)$ :

J = \left] \lim_{x \to 0^+} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x) \right[ = ]-\infty, +\infty[ = \R

Problème 4 : Concavité d'une fonction exponentielle

Énoncé

Soit la fonction

f

définie sur

\R

par :

f(x) = (x-2)e^x + x + 2

On note

\mathcal{C}_f

sa courbe représentative.

Calculer la dérivée première $f'(x)$ et la dérivée seconde $f''(x)$ sur $\R$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ sur $\R$ .
En déduire la concavité de la courbe $\mathcal{C}_f$ .
Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion unique $I$ dont on donnera les coordonnées.

Solution :

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$ par somme et produit de fonctions de référence :
Dérivée première :

f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-2)e^x + 1 = (x-1)e^x + 1

Dérivée seconde :

f''(x) = 1 \cdot e^x + (x-1)e^x = x e^x

Étudions le signe de $f''(x) = x e^x$ sur $\R$ : La fonction exponentielle $e^x$ étant strictement positive pour tout réel $x$ , la dérivée seconde $f''(x)$ est du signe de $x$ :

Pour $x < 0$ , $f''(x) < 0$ .
Pour $x > 0$ , $f''(x) > 0$ .
Pour $x = 0$ , $f''(x) = 0$ .

D'après le théorème du cours :

Sur l'intervalle $]-\infty, 0]$ , $f''(x) \le 0$ , donc la courbe $\mathcal{C}_f$ est concave.
Sur l'intervalle $[0, +\infty[$ , $f''(x) \ge 0$ , donc la courbe $\mathcal{C}_f$ est convexe.

La dérivée seconde $f''$ s'annule en 0 et change de signe autour de 0. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet donc un unique point d'inflexion $I$ d'abscisse $x=0$ . Calculons l'ordonnée de $I$ :

f(0) = (0-2)e^0 + 0 + 2 = -2 \times 1 + 2 = 0

Le point d'inflexion est l'origine du repère

I(0, 0)

Problème supplémentaire : Convexité et inégalité

Énoncé

Soient

a, b > 0

. Étudier la convexité de la fonction logarithme et en déduire l'inégalité

\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}

Solution :

Soit $f(x) = \ln(x)$ . On a $f'(x) = \frac{1}{x}$ et $f''(x) = -\frac{1}{x^2}$ . Comme $f''(x) < 0$ pour tout $x > 0$ , la fonction logarithme est strictement concave sur $]0, +\infty[$ .
Par définition de la concavité, pour tous $a, b > 0$ , on a :

f\left(\frac{a+b}{2}\right) \ge \frac{f(a)+f(b)}{2} \implies \ln\left(\frac{a+b}{2}\right) \ge \frac{\ln(a)+\ln(b)}{2}

On sait que

\frac{\ln(a)+\ln(b)}{2} = \frac{1}{2} \ln(ab) = \ln(\sqrt{ab})

. L'inégalité devient :

\ln\left(\frac{a+b}{2}\right) \ge \ln(\sqrt{ab})

Comme la fonction logarithme est strictement croissante sur

]0, +\infty[

, on en déduit par composition inverse :

\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}

Ce qui prouve que la moyenne géométrique de deux nombres positifs est toujours inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique.

Problème 5 : Points d'inflexion d'une famille de courbes

Énoncé

Pour tout réel

k \ne 0

, on considère la fonction

f_k

définie sur

\R

par :

f_k(x) = x^3 - 3kx^2

On note

\mathcal{C}_k

sa courbe représentative.

Calculer la dérivée seconde $f_k''(x)$ .
Montrer que pour tout $k \ne 0$ , la courbe $\mathcal{C}_k$ admet un unique point d'inflexion $I_k$ dont on calculera les coordonnées en fonction de $k$ .
Montrer que lorsque $k$ varie dans $\R^*$ , le point $I_k$ se déplace sur une courbe fixe $\Gamma$ d'équation $y = -2x^3$ .

Solution :

Calculons les dérivées successives :

f_k'(x) = 3x^2 - 6kx \implies f_k''(x) = 6x - 6k = 6(x-k)

La dérivée seconde $f_k''(x) = 6(x-k)$ s'annule en changeant de signe en $x = k$ (elle est négative pour $x < k$ et positive pour $x > k$ ). La courbe $\mathcal{C}_k$ possède donc un unique point d'inflexion $I_k$ d'abscisse $x_I = k$ . Calculons l'ordonnée correspondante $y_I = f_k(k)$ :

y_I = k^3 - 3k(k^2) = k^3 - 3k^3 = -2k^3

Les coordonnées du point d'inflexion sont donc :

I_k(k, -2k^3)

Soit $(x, y)$ les coordonnées de $I_k$ . On a :

\begin{cases} x = k \\ y = -2k^3 \end{cases} \implies y = -2x^3

Lorsque

k

varie dans

\R^*

, les coordonnées de

I_k

vérifient l'équation

y = -2x^3

. Le point

I_k

se déplace donc bien sur la courbe fixe

\Gamma

d'équation

y = -2x^3