Dérivation et convexité

Exercice 1 : Dérivée d'une puissance de fonction

Solution : La fonction $f$ est de la forme $u^n$ avec $u(x) = 3x^2 + 1$ et $n = 5$. La fonction $u$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x) = 6x$. D'après la formule $(u^n)' = n u^{n-1} u'$, on a :

Exercice 2 : Dérivée d'une racine de fonction

Solution : La fonction $f$ est de la forme $\sqrt{u}$ avec $u(x) = e^x + x^2 + 1$. Puisque $e^x > 0$, $x^2 \ge 0$ et $1 > 0$, on a $u(x) > 0$ pour tout $x \in \R$. La fonction $u$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x) = e^x + 2x$. D'après la formule $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$, on a :

Exercice 3 : Dérivée de l'exponentielle d'une fonction

Solution : La fonction $f$ est de la forme $e^u$ avec $u(x) = 2x^2 - 3x$. La fonction $u$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x) = 4x - 3$. D'après la formule $(e^u)' = u' e^u$, on a :

Exercice 4 : Dérivée du logarithme d'une fonction

Solution : La fonction $f$ est de la forme $\ln(u)$ avec $u(x) = x^2 + 1$. Pour tout $x \in \R$, $x^2 + 1 \ge 1 > 0$. $f$ est donc bien définie et dérivable sur $\R$. La fonction $u$ est dérivable et $u'(x) = 2x$. D'après la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$, on a :

Exercice 5 : Calcul de dérivée seconde

Solution : La fonction $f$ est de la forme $uv$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = e^x$.

• Dérivée première :

• Dérivée seconde (en dérivant $f'(x)$ qui est de la forme $g(x)e^x$ avec $g(x) = x+1$ et $g'(x) = 1$) :

Exercice 6 : Détermination des intervalles de convexité

Solution : La fonction $f$ est polynomiale donc deux fois dérivable sur $\R$.

• $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$
• $f''(x) = 12x - 18 = 6(2x - 3)$ Étudions le signe de $f''(x)$ :

Ainsi :

• $f$ est concave sur l'intervalle $\left]-\infty, \frac{3}{2}\right]$ car $f''(x) \le 0$.
• $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[\frac{3}{2}, +\infty\right[$ car $f''(x) \ge 0$.

Exercice 7 : Recherche de points d'inflexion

Solution : La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.

• $f'(x) = 4x^3 - 12x$
• $f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 12(x-1)(x+1)$ La dérivée seconde $f''$ s'annule pour $x = -1$ et $x = 1$. Le coefficient devant $x^2$ étant positif ($12>0$), $f''(x)$ change de signe en passant par ces racines (elle est positive à l'extérieur, négative à l'intérieur). La courbe $\mathcal{C}_f$ admet donc deux points d'inflexion :
• Pour $x = -1$ : $f(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^2 = 1 - 6 = -5$. Le point est $I_1(-1, -5)$.
• Pour $x = 1$ : $f(1) = 1^4 - 6(1)^2 = -5$. Le point est $I_2(1, -5)$.

Exercice 8 : Démonstration d'inégalité par convexité

Solution : Soit $f(x) = e^x$. La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$ et pour tout $x \in \R$, $f''(x) = e^x > 0$. La fonction exponentielle est donc strictement convexe sur $\R$. Par définition, sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de toutes ses tangentes. Déterminons l'équation de la tangente $\mathcal{T}_0$ à la courbe en $x=0$ :

La courbe étant située au-dessus de sa tangente en 0, on a pour tout $x \in \R$ :

Exercice 9 : Convexité d'une fonction avec logarithme

Solution : La fonction $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$.

• Dérivée première : $f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$.
• Dérivée seconde : $f''(x) = \frac{1}{x}$. Pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $f''(x) = \frac{1}{x} > 0$. Puisque sa dérivée seconde est strictement positive sur son ensemble de définition, la fonction $f$ est strictement convexe sur $]0, +\infty[$.

Exercice 10 : Dérivée de l'inverse d'une fonction

Solution : La fonction $f = \frac{1}{u}$ est dérivable sur $I$ et de dérivée :

Si $u$ est strictement croissante sur $I$, alors pour tout $x \in I$, $u'(x) > 0$. De plus, $u(x)^2 > 0$ car $u$ est strictement positive. Ainsi, le quotient $\frac{u'(x)}{u(x)^2}$ est strictement positif, et son opposé $f'(x) = -\frac{u'(x)}{u(x)^2}$ est strictement négatif. On en déduit que la fonction $f = \frac{1}{u}$ est strictement décroissante sur $I$.

Exercice 11 : Dérivée d'une fonction composée avec Arctangente

Solution : La fonction $f$ est la composée de $u(x) = e^x$ et de $v(y) = \arctan(y)$.

• La fonction $u$ est dérivable sur $\R$ et pour tout $x \in \R$, $u'(x) = e^x$.
• La fonction $v$ est dérivable sur $\R$ et pour tout $y \in \R$, $v'(y) = \frac{1}{1+y^2}$. D'après la formule de dérivation d'une fonction composée $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et :

Exercice 12 : Application du Théorème des Accroissements Finis

Solution : Soit la fonction $g(x) = \arctan(x)$. La fonction $g$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$. D'après le Théorème des Accroissements Finis (TAF), il existe un réel $c \in ]a, b[$ tel que :

Puisque $0 \le a < c < b$, en élevant au carré et en ajoutant 1 (les termes étant positifs) : Comme $b-a > 0$, en multipliant par $b-a$, on obtient : En remplaçant $\frac{b-a}{1+c^2}$ par sa valeur, on a bien :

Exercice 13 : Détermination d'une branche parabolique

Solution : 1. Calculons d'abord la limite en $+\infty$ :

2. Étudions le comportement de $\frac{f(x)}{x}$ en $+\infty$ : Puisque $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$, on a : 3. Le coefficient $a$ étant non nul, étudions la limite de la différence $f(x) - ax$ en $+\infty$ : Ainsi : On en conclut que la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = x$ en $+\infty$.