Exercice 1 : Écriture sous forme algébrique
Écrire sous forme algébrique le nombre complexe :
Z=1+2i3−i
Solution : On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, soit 1−2i :
Z=(1+2i)(1−2i)(3−i)(1−2i)=12+223−6i−i+2i2=53−2−7i=51−7i=51−57i
Exercice 2 : Forme exponentielle
Déterminer la forme exponentielle de :
z=−3+i
Solution : 1. Calculons le module de z :
∣z∣=(−3)2+12=3+1=4=2 2. Déterminons un argument
θ de
z :
cos(θ)=−23etsin(θ)=21 L'angle de l'intervalle
]−π,π] qui convient est
θ=65π. La forme exponentielle de
z est donc :
z=2ei65π
Exercice 3 : Résolution d'une équation du second degré
Résoudre dans
C l'équation suivante :
z2−2z+5=0
Solution : C'est une équation du second degré à coefficients réels. Calculons le discriminant :
Δ=(−2)2−4(1)(5)=4−20=−16 Puisque
Δ<0, l'équation admet deux racines complexes conjuguées :
z1=2−(−2)−i16=22−4i=1−2i z2=z1=1+2i L'ensemble des solutions est
S={1−2i,1+2i}.
Exercice 4 : Détermination d'ensemble de points
Déterminer l'ensemble des points
M d'affixe
z tels que :
∣z−2+i∣=3
Solution : Soit A le point d'affixe zA=2−i. L'équation s'écrit :
∣z−(2−i)∣=3⟺∣z−zA∣=3⟺AM=3 L'ensemble des points
M est donc le cercle de centre
A(2,−1) et de rayon 3.
Exercice 5 : Formules d'Euler et linéarisation
Linéariser l'expression
sin3(x) à l'aide des formules d'Euler.
Solution : En utilisant la formule d'Euler pour le sinus :
sin(x)=2ieix−e−ix Élevons au cube :
sin3(x)=(2ieix−e−ix)3=(2i)3(eix−e−ix)3 Puisque
(2i)3=8i3=−8i. Développons le numérateur à l'aide de l'identité
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3 :
(eix−e−ix)3=ei3x−3ei2xe−ix+3eixe−i2x−e−i3x=ei3x−3eix+3e−ix−e−i3x Regroupons les termes de même fréquence :
sin3(x)=−8i(ei3x−e−i3x)−3(eix−e−ix)=−41(2iei3x−e−i3x)+43(2ieix−e−ix) En réutilisant Euler pour repasser en sinus :
sin3(x)=−41sin(3x)+43sin(x)