Limites et continuité

Exercice 1 : Levée d'indétermination par simplification

Solution : En évaluant directement en $x=2$, on obtient une forme indéterminée du type « $\frac{0}{0}$ ». Factorisons le numérateur et le dénominateur :

• Le numérateur est une différence de carrés : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
• Le dénominateur $x^2 - 3x + 2$ admet pour racine évidente 2 (car $2^2 - 3(2) + 2 = 0$). L'autre racine est 1. On peut donc factoriser par $x^2 - 3x + 2 = (x-2)(x-1)$. Pour tout $x \in \R \setminus \{1; 2\}$, simplifions l'expression :

Ainsi :

Exercice 2 : Levée d'indétermination par quantité conjuguée

Solution : C'est une forme indéterminée du type « $\infty - \infty$ ». Utilisons l'expression conjuguée :

Pour $x > 0$, $\sqrt{x^2} = x$, donc : Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$, on a par limite de somme et de quotient :

Exercice 3 : Limite de fonctions trigonométriques par encadrement

Solution : Pour tout réel $x > 0$, on sait que $-1 \le \cos(x) \le 1$. En divisant par $x$ (qui est strictement positif), on obtient :

Or, $\lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$. D'après le théorème des Gendarmes, on en déduit :

Exercice 4 : Recherche d'asymptotes

Solution :

• Limite en $1^+$ : Le numérateur tend vers $2(1)+3 = 5$. Le dénominateur tend vers $0^+$. Par quotient :

La droite d'équation $x = 1$ est donc une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$.

• Limite en $+\infty$ : Factorisons par $x$ au numérateur et au dénominateur :

Puisque $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$, on a par quotient : La droite d'équation $y = 2$ est donc une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.

Exercice 5 : Étude de la continuité en un point

Solution : La fonction $f$ est continue en 1 si et seulement si $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.

• Calculons $f(1)$ : par définition pour $x \le 1$, $f(1) = 2(1) + 1 = 3$.
• Limite à gauche en 1 : $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x+1) = 3$.
• Limite à droite en 1 : $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2+2) = 1^2 + 2 = 3$. Puisque $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 3$, la fonction $f$ est continue en 1.

Exercice 6 : Application du théorème des valeurs intermédiaires

Solution : Soit la fonction $f$ définie sur $[1, 2]$ par $f(x) = x^3 + 3x - 5$.

• $f$ est une fonction polynomiale, elle est donc continue sur $[1, 2]$.
• Calculons les valeurs aux bornes :
• $f(1) = 1^3 + 3(1) - 5 = 1 + 3 - 5 = -1$.
• $f(2) = 2^3 + 3(2) - 5 = 8 + 6 - 5 = 9$.
• On constate que $f(1) < 0$ et $f(2) > 0$. Le nombre 0 est donc compris entre $f(1)$ et $f(2)$. D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), il existe au moins un réel $c \in [1, 2]$ tel que $f(c) = 0$. L'équation admet donc au moins une solution sur $[1,2]$.

Exercice 7 : Continuité par définition de limite

Solution : Pour tout $a > 0$, calculons la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ :

Puisque la limite de $f(x)$ quand $x \to a$ existe et vaut précisément $f(a) = \frac{1}{a}$, la fonction $f$ est continue en $a$. Comme cela est vrai pour tout $a > 0$, la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $]0, +\infty[$.

Exercice 8 : Limite d'une fonction composée

Solution : La fonction $h$ est la composée de $u(x) = \sqrt{x}$ et de $v(y) = \cos(y)$. 1. Cherchons la limite de $u(x)$ en $0^+$ :

2. Cherchons la limite de $v(y)$ en 0 : D'après le théorème de la limite d'une fonction composée, on conclut :

Exercice 9 : Limite oscillante amortie

Solution : Pour tout $x > 0$, $-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1$. En multipliant par $x$ (qui est strictement positif) :

Or, $\lim_{x \to 0^+} -x = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x = 0$. D'après le théorème des Gendarmes, la limite en $0^+$ de $f(x)$ est :

Exercice 10 : Continuité globale et paramètre

Solution : Les fonctions $x \mapsto 3x+a$ et $x \mapsto x^2-1$ sont des polynômes, donc continues sur $]-\infty, 2[$ et $]2, +\infty[$ respectivement, quelle que soit la valeur de $a$. La fonction $f$ est continue sur $\R$ si et seulement si elle est continue en 2, soit $\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2)$.

• $f(2) = 2^2 - 1 = 3$.
• $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2-1) = 3$.
• $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (3x+a) = 3(2) + a = 6 + a$. Pour assurer la continuité, on doit avoir :

Exercice 11 : Calcul de limite avec racine troisième

Solution : C'est une forme indéterminée de la forme « $\infty - \infty$ ». Utilisons l'identité algébrique $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, qui donne $a-b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$. Ici, posons $a = \sqrt[3]{x^3+x^2}$ et $b = x$. On a :

Puisque $\sqrt[3]{x^3} = x$ pour $x > 0$, on a : Pour $x > 0$, on simplifie par $x^2$ : Puisque $\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} = 0$, on obtient par limite de somme et de quotient :

Exercice 12 : Simplification avec la fonction Arctangente

Solution : Soit $x > 0$. Posons $\theta = \arctan(x)$. Puisque $x > 0$, on a $\theta \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$. On a $\tan(\theta) = x$. Étudions le nombre $\frac{\pi}{2} - \theta$. Comme $\theta \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$, on a également $\frac{\pi}{2} - \theta \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$. Calculons la tangente de cet angle en utilisant la formule trigonométrique $\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{1}{\tan(\theta)}$ :

Ainsi, $\frac{\pi}{2} - \theta$ est l'unique angle dans $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ dont la tangente vaut $\frac{1}{x}$. Par définition de la fonction Arctangente, on a donc : Ce qui donne bien :