Chahd — Réussir le rattrapage du Bac scientifique

Exercice 1 (4 points)

Soit

(u_n)

la suite numérique définie par

u_0 = \frac{1}{3}

et

u_{n+1} = \frac{u_n + 1}{3 - u_n}

pour tout

n \in \N

.

1) Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$ , $0 < u_n < 1$ .

2.a) Montrer que pour tout $n \in \N$ , $1 - u_{n+1} = \frac{2(1-u_n)}{3-u_n}$ .

2.b) Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

3) On pose $v_n = \frac{u_n}{1-u_n}$ pour tout $n \in \N$ .

3.a) Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique et déterminer sa raison et son premier terme.

3.b) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ , puis en déduire que $u_n = \frac{n+1}{n+3}$ pour tout $n \in \N$ .

3.c) Calculer la limite de la suite $(u_n)$ .

4) À partir de quelle valeur de $n$ a-t-on $u_n \ge \frac{1011}{1012}$ ?

Corrigé

$(u_n)$ : $\;u_0=\dfrac13\;$ et $\;u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{3-u_n}$ .

1) Montrer par récurrence que $0<u_n<1$ .

Initialisation. $u_0=\frac13\in\,]0,1[$ : vrai au rang $0$ . [2pt] Hérédité. Supposons $0<u_n<1$ . $\bullet$ $u_n>0$ donne $u_n+1>0$ , et $u_n<1$ donne $3-u_n>2>0$ , donc $u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{3-u_n}>0$ . $\bullet$ Pour la majoration :

1-u_{n+1}=1-\frac{u_n+1}{3-u_n}=\frac{3-u_n-(u_n+1)}{3-u_n}=\frac{2(1-u_n)}{3-u_n}.

Comme

u_n<1

,

1-u_n>0

; et

3-u_n>0

. Donc

1-u_{n+1}>0

, soit

u_{n+1}<1

.

⇒ Par récurrence,

0<u_n<1

pour tout

n\in\N

.

2.a) Montrer $1-u_{n+1}=\dfrac{2(1-u_n)}{3-u_n}$ .

Déjà établi à la question 1 :

⇒

1-u_{n+1}=\dfrac{2(1-u_n)}{3-u_n}

.

2.b) Montrer que $(u_n)$ converge.

Méthode

On étudie le signe de

u_{n+1}-u_n

pour la monotonie ; bornée + monotone

\Rightarrow

convergente.

u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+1}{3-u_n}-u_n=\frac{u_n+1-u_n(3-u_n)}{3-u_n}=\frac{u_n^2-2u_n+1}{3-u_n}=\frac{(u_n-1)^2}{3-u_n}.

Comme

u_n<1

:

3-u_n>0

et

(u_n-1)^2>0

, donc

u_{n+1}-u_n>0

:

(u_n)

est strictement croissante. Étant de plus majorée par

1

:

⇒ La suite

(u_n)

est convergente.

3) On pose $v_n=\dfrac{u_n}{1-u_n}$ .

3.a) Montrer que $(v_n)$ est arithmétique ; raison et premier terme.

Méthode

On calcule

v_{n+1}-v_n

. Astuce :

v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}}

, et on remplace

u_{n+1}

et

1-u_{n+1}

par leurs expressions (le facteur

3-u_n

se simplifie).

\frac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}}=\frac{\frac{u_n+1}{3-u_n}}{\frac{2(1-u_n)}{3-u_n}}=\frac{u_n+1}{2(1-u_n)},

v_{n+1}-v_n=\frac{u_n+1}{2(1-u_n)}-\frac{2u_n}{2(1-u_n)}=\frac{1-u_n}{2(1-u_n)}=\frac12.

⇒

(v_n)

est arithmétique de raison

r=\dfrac12

et de premier terme

v_0=\dfrac{1/3}{2/3}=\dfrac12

.

3.b) Exprimer $v_n$ , puis montrer $u_n=\dfrac{n+1}{n+3}$ .

$v_n=v_0+nr=\dfrac12+\dfrac n2=\dfrac{n+1}{2}$ . De $v_n=\dfrac{u_n}{1-u_n}$ on tire $u_n=\dfrac{v_n}{v_n+1}$ , donc

u_n=\frac{\frac{n+1}{2}}{\frac{n+1}{2}+1}=\frac{n+1}{(n+1)+2}=\boxed{\frac{n+1}{n+3}}.

3.c) Limite de $(u_n)$ .

\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n+3}=\boxed{1}.

4) À partir de quel $n$ a-t-on $u_n\ge\dfrac{1011}{1012}$ ?

\begin{aligned} \frac{n+1}{n+3}\ge\frac{1011}{1012}&\iff 1012(n+1)\ge1011(n+3)\\ &\iff 1012n+1012\ge1011n+3033\iff n\ge2021. \end{aligned}

⇒ La plus petite valeur est

n=2021

.

Exercice 2 (5 points)

1) Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : $z^2 - 6z + 13 = 0$ .

2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ , on considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$ , $b$ et $c$ telles que :

a = 3 + 2i, \quad b = 3 - 2i \quad \text{et} \quad c = -1 - 2i

2.a) Écrire le nombre complexe $\frac{c-b}{a-b}$ sous forme trigonométrique.

2.b) En déduire la nature du triangle $ABC$ .

3) Soit $R$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ . Soit $M$ un point du plan d'affixe $z$ et $M'$ le point d'affixe $z'$ l'image de $M$ par $R$ . On considère le point $D$ d'affixe $d = -3 - 4i$ .

3.a) Écrire $z'$ en fonction de $z$ .

3.b) Vérifier que $C$ est l'image de $A$ par $R$ .

4.a) Montrer que les points $A$ , $C$ et $D$ sont alignés.

4.b) Déterminer le rapport de l'homothétie $h$ de centre $C$ qui transforme $A$ en $D$ .

4.c) Déterminer l'affixe $e$ du point $E$ pour que le quadrilatère $BCDE$ soit un parallélogramme.

5.a) Montrer que $\frac{d-a}{e-b}$ est un nombre réel.

5.b) En déduire que le quadrilatère $ABED$ est un trapèze isocèle.

Corrigé

1) Résoudre $z^2-6z+13=0$ dans $\C$ .

$\Delta=36-52=-16=(4i)^2<0$ , donc $z=\dfrac{6\pm4i}{2}=3\pm2i$ .

⇒

S=\boxed{\{3-2i\,;\,3+2i\}}

.

2) $a=3+2i$ , $\;b=3-2i$ , $\;c=-1-2i$ .

2.a) Forme trigonométrique de $\dfrac{c-b}{a-b}$ .

\frac{c-b}{a-b}=\frac{(-1-2i)-(3-2i)}{(3+2i)-(3-2i)}=\frac{-4}{4i}=-\frac1i=i.

⇒

\dfrac{c-b}{a-b}=i=\cos\dfrac\pi2+i\sin\dfrac\pi2

.

2.b) En déduire la nature du triangle $ABC$ .

$\left|\dfrac{c-b}{a-b}\right|=|i|=1\Rightarrow BA=BC$ , et $\arg\!\left(\dfrac{c-b}{a-b}\right)=\dfrac\pi2\Rightarrow(\vec{BA},\vec{BC})=\dfrac\pi2$ .

⇒ Le triangle

ABC

est rectangle et isocèle en

B

.

3) $R$ rotation de centre $B$ et d'angle $\frac\pi2$ ; $d=-3-4i$ .

3.a) Écrire $z'$ en fonction de $z$ .

Rappel

Rotation de centre

\Omega

(affixe

\omega

) et d'angle

\theta

:

z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)

.

Avec

\omega=b=3-2i

et

e^{i\pi/2}=i

:

z'=i\bigl(z-(3-2i)\bigr)+(3-2i)=iz-3i+2i^2+3-2i=\boxed{iz+1-5i}.

3.b) Vérifier que $C$ est l'image de $A$ par $R$ .

Pour $z=a=3+2i$ : $z'=i(3+2i)+1-5i=3i-2+1-5i=-1-2i=c$ .

⇒

C=R(A)

.

4.a) Montrer que $A$ , $C$ , $D$ sont alignés.

a-c=(3+2i)-(-1-2i)=4+4i,\qquad d-c=(-3-4i)-(-1-2i)=-2-2i.

Comme

a-c=-2(d-c)

, on a

\vec{CA}=-2\,\vec{CD}

: les vecteurs sont colinéaires.

⇒

A

,

C

et

D

sont alignés.

4.b) Rapport de l'homothétie $h$ de centre $C$ envoyant $A$ sur $D$ .

De $\vec{CA}=-2\,\vec{CD}$ on tire $\vec{CD}=-\dfrac12\,\vec{CA}$ .

⇒ Le rapport est

k=-\dfrac12

.

4.c) Affixe $e$ de $E$ pour que $BCDE$ soit un parallélogramme.

$BCDE$ parallélogramme $\iff\vec{BC}=\vec{ED}\iff c-b=d-e\iff e=b+d-c$ . Donc

e=(3-2i)+(-3-4i)-(-1-2i)=\boxed{1-4i}.

5.a) Montrer que $\dfrac{d-a}{e-b}$ est réel.

\frac{d-a}{e-b}=\frac{(-3-4i)-(3+2i)}{(1-4i)-(3-2i)}=\frac{-6-6i}{-2-2i}=\frac{-6(1+i)}{-2(1+i)}=3\in\R.

5.b) En déduire que $ABED$ est un trapèze isocèle.

$\dfrac{d-a}{e-b}=3\in\R$ signifie $\vec{AD}$ et $\vec{BE}$ colinéaires, donc $(AD)\parallel(BE)$ : $ABED$ est un trapèze. De plus

AB=|b-a|=|-4i|=4,\qquad ED=|d-e|=|-4|=4.

Les deux côtés non parallèles

[AB]

et

[ED]

sont égaux.

⇒

ABED

est un trapèze isocèle.

Exercice 3 (3 points)

On considère la fonction numérique

h

définie sur

]0, + \infty[

par :

h(x) = x + \ln x

.

1) Montrer que la fonction $h$ est strictement croissante sur $]0, + \infty[$ .

2) Déterminer $h( ]0, + \infty[ )$ .

3.a) En déduire que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0, + \infty[$ .

3.b) Montrer que $0 < \alpha < 1$ .

4.a) Vérifier que $h\left(\frac{1}{e}\right) < 0$ .

4.b) En déduire que $\frac{1}{e} < \alpha < 1$ .

Corrigé

$h(x)=x+\ln x$ sur $]0,+\infty[$ .

1) Montrer que $h$ est strictement croissante.

$h$ est dérivable et $h'(x)=1+\dfrac1x>0$ pour $x>0$ .

⇒

h

est strictement croissante sur

]0,+\infty[

.

2) Déterminer $h(\,]0,+\infty[\,)$ .

Rappel

Une fonction continue et strictement croissante sur

]a,b[

a pour image

\big]\lim_{a^+}h,\ \lim_{b^-}h\big[

.

\displaystyle\lim_{x\to0^+}h(x)=-\infty

(car

\ln x\to-\infty

) et

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty

.

⇒

h(\,]0,+\infty[\,)=\,]-\infty,+\infty[\,=\R

.

3.a) En déduire que $h(x)=0$ a une solution unique $\alpha$ .

$h$ est une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\R$ , et $0\in\R$ :

⇒ l'équation

h(x)=0

admet une unique solution

\alpha\in\,]0,+\infty[

.

3.b) Montrer que $0<\alpha<1$ .

$h(1)=1+\ln1=1>0=h(\alpha)$ ; comme $h$ est strictement croissante, $h(\alpha)<h(1)\Rightarrow\alpha<1$ . Et $\alpha\in\,]0,+\infty[\Rightarrow\alpha>0$ .

⇒

0<\alpha<1

.

4.a) Vérifier que $h\!\left(\frac1e\right)<0$ .

h\!\left(\frac1e\right)=\frac1e+\ln\frac1e=\frac1e-1=\frac{1-e}{e}<0\quad(\text{car }e>1).

4.b) En déduire que $\frac1e<\alpha<1$ .

On a $h\!\left(\frac1e\right)<0=h(\alpha)<1=h(1)$ . Par stricte croissance de $h$ :

⇒

\dfrac1e<\alpha<1

.

Problème (8 points)

Soit

f

la fonction numérique définie sur

\R

par

f(x) = 2 - xe^{-x+1}

. Soit

(C_f)

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O,\vec{i},\vec{j})

(unité : 1cm).

1) Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter le résultat géométriquement.

2.a) Calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ .

2.b) Montrer que $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty$ et interpréter le résultat géométriquement.

3.a) Montrer que pour tout $x \in \R$ , $f'(x) = (x-1)e^{-x+1}$ .

3.b) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .

4.a) Calculer $f''(x)$ pour tout $x \in \R$ .

4.b) Montrer que la courbe $(C_f)$ admet un point d'inflexion d'abscisse 2.

5) Construire la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ (on prendra $f(2) \approx 1.25$ ).

6) Déterminer la valeur minimale de la fonction $f$ et en déduire que pour tout $x \in \R$ , $e^{x-1} \ge x$ .

7.a) En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale $\int_0^1 x e^{-x+1}\,\mathrm{d}x$ .

7.b) En déduire la valeur de l'intégrale $\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

8) Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $]-\infty, 1]$ .

8.a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.

8.b) Construire la courbe représentative de $g^{-1}$ dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

8.c) Déterminer la limite $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{g^{-1}(x)}{x}$ .

Corrigé

$f(x)=2-xe^{-x+1}$ sur $\R$ (unité $1$ cm).

1) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et interpréter.

Rappel

Croissance comparée :

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}=0

.

f(x)=2-e\cdot\dfrac{x}{e^x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}2-0=2

.

\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=2.}

⇒ La droite

y=2

est asymptote horizontale à

(C_f)

en

+\infty

.

2.a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ .

Quand $x\to-\infty$ : $x\to-\infty$ et $e^{-x+1}\to+\infty$ , donc $-xe^{-x+1}\to+\infty$ .

\boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.}

2.b) Montrer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=-\infty$ et interpréter.

$\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac2x-e^{-x+1}\xrightarrow[x\to-\infty]{}0-(+\infty)=-\infty$ .

⇒

(C_f)

admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en

-\infty

.

3.a) Montrer $f'(x)=(x-1)e^{-x+1}$ .

Rappel

\bigl(e^{-x+1}\bigr)'=-e^{-x+1}

.

f'(x)=-\bigl[(x)'e^{-x+1}+x(e^{-x+1})'\bigr]=-\bigl[e^{-x+1}-xe^{-x+1}\bigr]=(x-1)e^{-x+1}.

⇒

f'(x)=(x-1)e^{-x+1}

.

3.b) Tableau de variations de $f$ .

Le signe de $f'(x)$ est celui de $x-1$ (car $e^{-x+1}>0$ ). Minimum $f(1)=2-1\cdot e^0=1$ ; et $\displaystyle\lim_{-\infty}f=+\infty$ , $\displaystyle\lim_{+\infty}f=2$ .

\begin{center}

\end{center}

4.a) Calculer $f''(x)$ .

f''(x)=(x-1)'e^{-x+1}+(x-1)(e^{-x+1})'=e^{-x+1}-(x-1)e^{-x+1}=(2-x)e^{-x+1}.

4.b) Montrer que $(C_f)$ a un point d'inflexion d'abscisse $2$ .

Le signe de $f''(x)$ est celui de $2-x$ : positif pour $x<2$ , négatif pour $x>2$ . $f''$ s'annule en changeant de signe en $x=2$ .

⇒

(C_f)

admet un point d'inflexion d'abscisse

2

,

f(2)=2-2e^{-1}\approx1{,}25

.

5) Construire $(C_f)$ (on prend $f(2)\approx1{,}25$ ).

Repères : minimum $(1\,;1)$ (tangente horizontale), inflexion $(2\,;\approx1{,}25)$ , asymptote $y=2$ en $+\infty$ . \emph{(La courbe verte $(C_{g^{-1}})$ est tracée à la question 8.)}

\begin{center}

\end{center}

6) Valeur minimale de $f$ ; en déduire $e^{x-1}\ge x$ .

D'après le tableau, le minimum est $f(1)=1$ . Donc pour tout $x\in\R$ :

f(x)\ge1\ \Longrightarrow\ 2-xe^{-x+1}\ge1\ \Longrightarrow\ xe^{-x+1}\le1\ \Longrightarrow\ x\le e^{x-1}.

⇒

\min_\R f=1

, et

e^{x-1}\ge x

pour tout

x\in\R

.

7.a) Calculer $\displaystyle\int_0^1 xe^{-x+1}\dx$ (intégration par parties).

Rappel

IPP :

\displaystyle\int_a^b u\,v'=[u\,v]_a^b-\int_a^b u'\,v

.

On pose

u=x

,

v'=e^{-x+1}

, d'où

u'=1

,

v=-e^{-x+1}

. Alors

\int_0^1 xe^{-x+1}\dx=\bigl[-xe^{-x+1}\bigr]_0^1+\int_0^1 e^{-x+1}\dx=-1+\bigl[-e^{-x+1}\bigr]_0^1=-1-(1-e)=\boxed{e-2}.

7.b) En déduire $\displaystyle\int_0^1 f(x)\dx$ .

\int_0^1 f(x)\dx=\int_0^1\bigl(2-xe^{-x+1}\bigr)\dx=\bigl[2x\bigr]_0^1-(e-2)=2-(e-2)=\boxed{4-e}.

8) $g$ est la restriction de $f$ à $]-\infty,1]$ .

8.a) Montrer que $g$ admet une réciproque $g^{-1}$ sur $J$ à déterminer.

Sur $]-\infty,1]$ , $f$ est continue et strictement décroissante, donc $g$ réalise une bijection de $]-\infty,1]$ sur $J=\big[g(1)\,;\,\lim_{-\infty}g\big[$ . Or $g(1)=1$ et $\lim_{-\infty}g=+\infty$ .

⇒

g^{-1}

est définie sur

J=[1\,;+\infty[

.

8.b) \textit{Construire $(C_{g^{-1}})$ .}

C'est le symétrique de la partie $x\le1$ de $(C_f)$ par rapport à $y=x$ — tracée ci-dessus (courbe verte), de $(1\,;1)$ vers la droite et le bas.

8.c) \textit{Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{g^{-1}(x)}{x}$ .}

Méthode

On pose

y=g^{-1}(x)

, donc

x=g(y)

; quand

x\to+\infty

,

y\to-\infty

.

\lim_{x\to+\infty}\frac{g^{-1}(x)}{x}=\lim_{y\to-\infty}\frac{y}{g(y)}=\lim_{y\to-\infty}\frac{y}{2-ye^{-y+1}} =\lim_{y\to-\infty}\frac{1}{\frac2y-e^{-y+1}}=\boxed{0}

(car

\frac2y\to0

et

e^{-y+1}\to+\infty

, donc le dénominateur

\to-\infty

).