Chahd — Réussir le rattrapage du Bac scientifique

Exercice 1 (2 points)

1.a) Résoudre dans $\R$ l'équation : $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$ .

1.b) Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $e^{2x} - 4e^x + 3 \le 0$ .

1.c) Calculer la limite : $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 4e^x + 3}{e^{2x} - 1}$ .

2) Montrer que l'équation $e^{2x} + e^x + 4x = 0$ admet une solution dans l'intervalle $[-1, 0]$ .

Corrigé

1.a) Résoudre $e^{2x}-4e^x+3=0$ dans $\R$ .

Méthode

On pose

X=e^x

(avec

X>0

) : l'équation devient un trinôme du second degré en

X

.

X^2-4X+3=0

, de discriminant

\Delta=16-12=4>0

, donc

X=\dfrac{4\pm2}{2}\in\{1,3\}

. Comme

X=e^x>0

:

e^x=1\Rightarrow x=0,\qquad e^x=3\Rightarrow x=\ln3.

⇒

S=\boxed{\{0\,;\,\ln3\}}

.

1.b) Résoudre $e^{2x}-4e^x+3\le0$ dans $\R$ .

L'expression se factorise : $e^{2x}-4e^x+3=(e^x-1)(e^x-3)$ . Ce produit est $\le0$ lorsque $e^x$ est entre les racines : $1\le e^x\le3$ , soit $0\le x\le\ln3$ .

⇒

S=\boxed{[0\,;\,\ln3]}

.

1.c) \textit{Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-4e^x+3}{e^{2x}-1}$ .}

Méthode

Forme indéterminée

\frac00

: on factorise haut et bas pour simplifier le facteur

(e^x-1)

.

\frac{e^{2x}-4e^x+3}{e^{2x}-1}=\frac{(e^x-1)(e^x-3)}{(e^x-1)(e^x+1)}=\frac{e^x-3}{e^x+1} \xrightarrow[x\to0]{}\frac{1-3}{1+1}=\boxed{-1}.

2) Montrer que $e^{2x}+e^x+4x=0$ admet une solution dans $[-1,0]$ .

Rappel

Théorème des valeurs intermédiaires : si

\varphi

est continue sur

[\alpha,\beta]

et

\varphi(\alpha)\,\varphi(\beta)<0

, alors

\varphi

s'annule sur

]\alpha,\beta[

.

Posons

\varphi(x)=e^{2x}+e^x+4x

, continue sur

[-1,0]

. Alors

\varphi(-1)=e^{-2}+e^{-1}-4\approx0{,}5-4<0,\qquad \varphi(0)=1+1+0=2>0.

Comme

\varphi(-1)\,\varphi(0)<0

:

⇒ l'équation

e^{2x}+e^x+4x=0

admet (au moins) une solution dans

[-1,0]

.

Exercice 2 (4 points)

Soit

(u_n)

la suite numérique définie par

u_0 = \frac{1}{2}

et

u_{n+1} = \frac{u_n}{3 - 2u_n}

pour tout

n \in \N

.

1) Calculer $u_1$ .

2) Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$ , $0 < u_n \le \frac{1}{2}$ .

3.a) Montrer que pour tout $n \in \N$ , $u_{n+1} \le \frac{1}{2} u_n$ .

3.b) En déduire la monotonie de la suite $(u_n)$ .

4.a) Montrer que pour tout $n \in \N$ , $0 < u_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$ , puis calculer la limite de la suite $(u_n)$ .

4.b) On pose $v_n = \ln(3 - 2u_n)$ pour tout $n \in \N$ . Calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$ .

5.a) Vérifier que pour tout $n \in \N$ , $\frac{1}{u_{n+1}} - 1 = 3 \left( \frac{1}{u_n} - 1 \right)$ .

5.b) En déduire $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \N$ .

Corrigé

$(u_n)$ : $\;u_0=\dfrac12\;$ et $\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3-2u_n}$ .

1) Calculer $u_1$ .

u_1=\frac{u_0}{3-2u_0}=\frac{1/2}{3-1}=\frac{1/2}{2}=\boxed{\frac14}.

2) Montrer par récurrence que $0<u_n\le\frac12$ .

Initialisation. $u_0=\frac12$ : $0<\frac12\le\frac12$ vrai. [2pt] Hérédité. Supposons $0<u_n\le\frac12$ . Alors $0<2u_n\le1$ , donc $2\le3-2u_n<3$ . $\bullet$ $u_n>0$ et $3-2u_n>0$ donnent $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3-2u_n}>0$ . $\bullet$ Pour la majoration, on étudie le signe de $u_{n+1}-\frac12$ :

u_{n+1}-\frac12=\frac{u_n}{3-2u_n}-\frac12=\frac{2u_n-(3-2u_n)}{2(3-2u_n)}=\frac{4u_n-3}{2(3-2u_n)}.

Comme

u_n\le\frac12

,

4u_n\le2

, donc

4u_n-3\le-1<0

; et

3-2u_n>0

. Ainsi

u_{n+1}-\frac12<0

.

⇒ Par récurrence,

0<u_n\le\frac12

pour tout

n\in\N

.

3.a) Montrer $u_{n+1}\le\frac12 u_n$ .

De $3-2u_n\ge2$ on tire $\dfrac{1}{3-2u_n}\le\dfrac12$ . En multipliant par $u_n>0$ :

⇒

u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3-2u_n}\le\dfrac12 u_n

.

3.b) Monotonie de $(u_n)$ .

u_{n+1}-u_n\le\frac12 u_n-u_n=-\frac12 u_n<0.

⇒ La suite

(u_n)

est strictement décroissante.

4.a) Montrer $0<u_n\le\left(\frac12\right)^{n+1}$ , puis la limite.

Par récurrence. $u_0=\frac12\le\left(\frac12\right)^1$ . Si $u_n\le\left(\frac12\right)^{n+1}$ , alors $u_{n+1}\le\frac12 u_n\le\frac12\left(\frac12\right)^{n+1}=\left(\frac12\right)^{n+2}$ .

\Longrightarrow\quad 0<u_n\le\Big(\frac12\Big)^{n+1}.

Comme

\left(\frac12\right)^{n+1}\to0

, par le théorème des gendarmes :

⇒

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0

.

4.b) $v_n=\ln(3-2u_n)$ . Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n$ .

Par continuité de $\ln$ en $3$ et comme $u_n\to0$ :

\lim_{n\to+\infty}v_n=\ln(3-2\times0)=\boxed{\ln3}.

5.a) \textit{Vérifier $\dfrac{1}{u_{n+1}}-1=3\left(\dfrac{1}{u_n}-1\right)$ .}

\frac{1}{u_{n+1}}-1=\frac{3-2u_n}{u_n}-1=\frac{3}{u_n}-2-1=\frac{3}{u_n}-3=3\left(\frac{1}{u_n}-1\right).

5.b) En déduire $u_n$ en fonction de $n$ .

Méthode

La relation précédente dit que

w_n=\dfrac{1}{u_n}-1

est géométrique de raison

3

.

w_0=\dfrac{1}{u_0}-1=2-1=1

, donc

w_n=w_0\cdot3^n=3^n

. Alors

\dfrac{1}{u_n}-1=3^n

, soit

\dfrac{1}{u_n}=3^n+1

.

⇒

u_n=\dfrac{1}{3^n+1}

.

Exercice 3 (5 points)

1) Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : $z^2 - \sqrt{3}z + 1 = 0$ .

2) Soient les nombres complexes $a = e^{i\pi/6}$ et $b = \frac{3+i\sqrt{3}}{2}$ .

2.a) Écrire $a$ sous forme algébrique.

2.b) Vérifier que $b = \sqrt{3}a$ .

3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ , on considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$ , $b$ et $c = \bar{a}$ . Montrer que le point $B$ est l'image du point $A$ par une homothétie $h$ de centre $O$ dont on déterminera le rapport.

4) Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ .

4.a) Pour tout point $M$ d'affixe $z$ , exprimer $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M$ par la rotation $R$ en fonction de $z$ et $a$ .

4.b) Soit $D$ l'image de $C$ par $R$ . Montrer que l'affixe $d$ de $D$ est $d = a + 1$ .

4.c) Soit $I$ le point d'affixe 1. Montrer que le quadrilatère $ADIO$ est un losange.

5.a) Vérifier que $d - b = \frac{\sqrt{3}-1}{2}(1-i)$ , puis en déduire un argument du nombre $d - b$ .

5.b) Écrire le nombre $1 - b$ sous forme trigonométrique.

5.c) En déduire une mesure de l'angle $(\vec{BI}, \vec{BD})$ .

Corrigé

1) Résoudre $z^2-\sqrt3\,z+1=0$ dans $\C$ .

$\Delta=(-\sqrt3)^2-4=3-4=-1=i^2<0$ , donc $z=\dfrac{\sqrt3\pm i}{2}$ . \conclu{ $S=\boxed{\left\{\dfrac{\sqrt3-i}{2}\ ;\ \dfrac{\sqrt3+i}{2}\right\}}$ .}

2) $a=e^{i\pi/6}$ , $\;b=\dfrac{3+i\sqrt3}{2}$ .

2.a) Forme algébrique de $a$ .

a=e^{i\pi/6}=\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6=\boxed{\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i}.

2.b) Vérifier $b=\sqrt3\,a$ .

\sqrt3\,a=\sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i=\frac{3+i\sqrt3}{2}=b.\quad\checkmark

3) Montrer que $B$ est l'image de $A$ par une homothétie de centre $O$ .

Comme $b=\sqrt3\,a$ , on a $\vec{OB}=\sqrt3\,\vec{OA}$ .

⇒

B=h(A)

où

h

est l'homothétie de centre

O

et de rapport

\sqrt3

.

4) $R$ rotation de centre $A$ et d'angle $\frac\pi2$ .

4.a) Exprimer $z'$ en fonction de $z$ et $a$ .

Rappel

Rotation de centre

\Omega

(affixe

\omega

) et d'angle

\theta

:

z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)

.

Ici

\omega=a

,

\theta=\frac\pi2

(

e^{i\pi/2}=i

), donc

z'-a=i(z-a)

, soit

⇒

z'=i(z-a)+a

.

4.b) $D=R(C)$ avec $c=\bar a$ . Montrer $d=a+1$ .

$c-a=\bar a-a=\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right)-\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)=-i$ . Donc

d=i(c-a)+a=i(-i)+a=1+a.

⇒

d=a+1

.

4.c) $I$ d'affixe $1$ . Montrer que $ADIO$ est un losange.

Méthode

On montre d'abord que

ADIO

est un parallélogramme (deux côtés opposés égaux comme vecteurs), puis que deux côtés consécutifs ont la même longueur.

Affixe de

\vec{OA}=a

; affixe de

\vec{ID}=d-1=(a+1)-1=a

. Donc

\vec{OA}=\vec{ID}

: le quadrilatère

ADIO

est un parallélogramme. De plus

OA=|a|=1

et

OI=|1|=1

: les deux côtés consécutifs

[OA]

et

[OI]

ont la même longueur.

⇒

ADIO

est un losange.

5.a) Vérifier $d-b=\frac{\sqrt3-1}{2}(1-i)$ et en déduire un argument.

d-b=(a+1)-\sqrt3\,a=a(1-\sqrt3)+1=\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)(1-\sqrt3)+1.

En développant, la partie réelle vaut

\frac{\sqrt3-3}{2}+1=\frac{\sqrt3-1}{2}

et la partie imaginaire

\frac{1-\sqrt3}{2}

:

d-b=\frac{\sqrt3-1}{2}+i\,\frac{1-\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3-1}{2}\,(1-i).

Comme

\dfrac{\sqrt3-1}{2}>0

(réel positif) :

⇒

\arg(d-b)\equiv\arg(1-i)\equiv-\dfrac\pi4\ (\mathrm{mod}\ 2\pi)

.

5.b) Forme trigonométrique de $1-b$ .

$1-b=1-\left(\frac32+i\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}$ . Module : $|1-b|=\sqrt{\frac14+\frac34}=1$ . Avec $\cos\theta=-\frac12$ et $\sin\theta=-\frac{\sqrt3}{2}$ , on a $\theta=-\frac{2\pi}{3}$ :

⇒

1-b=\cos\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\!\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)

.

5.c) Mesure de l'angle $(\vec{BI},\vec{BD})$ .

Rappel

(\vec{BI},\vec{BD})\equiv\arg\!\left(\dfrac{d-b}{1-b}\right)\equiv\arg(d-b)-\arg(1-b)

(car

\vec{BI}

a pour affixe

1-b

et

\vec{BD}

a pour affixe

d-b

).

(\vec{BI},\vec{BD})\equiv-\frac\pi4-\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\equiv-\frac{3\pi}{12}+\frac{8\pi}{12}\equiv\boxed{\frac{5\pi}{12}}\ (\mathrm{mod}\ 2\pi).

Problème (9 points)

Soit la fonction

f

définie sur

[0, +\infty[

par

f(0) = 0

et

f(x) = 2x\ln x - 2x

si

x > 0

. Soit

(C_f)

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O,\vec{i},\vec{j})

(unité : 1cm).

1) Montrer que la fonction $f$ est continue à droite au point 0.

2.a) Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ .

2.b) Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ , puis interpréter géométriquement le résultat.

3.a) Calculer $\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}$ et interpréter géométriquement le résultat.

3.b) Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ , $f'(x) = 2\ln x$ .

3.c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0, +\infty[$ .

4.a) Résoudre dans l'intervalle $]0, +\infty[$ les équations $f(x) = 0$ et $f(x) = x$ .

4.b) Construire la courbe $(C_f)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ (on prendra $e \approx 2.7$ et $e^{3/2} \approx 4.5$ ).

5.a) En utilisant une intégration par parties, montrer que $\int_1^e x\ln x\,\mathrm{d}x = \frac{1+e^2}{4}$ .

5.b) En déduire la valeur de l'intégrale $\int_1^e f(x)\,\mathrm{d}x$ .

6.a) Déterminer le minimum de $f$ sur $]0, +\infty[$ .

6.b) En déduire que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ , $x\ln x \ge x - 1$ .

7) Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ à l'intervalle $[1, +\infty[$ .

7.a) Montrer que la fonction $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.

7.b) Construire dans le même repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ la courbe représentative de la fonction $g^{-1}$ .

8) On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par :

h(x) = \begin{cases} x^3 + 3x & \text{si } x \le 0 \\ 2x\ln x - 2x & \text{si } x > 0 \end{cases}

8.a) Étudier la continuité de $h$ au point 0.

8.b) Étudier la dérivabilité de la fonction $h$ à gauche au point 0, puis interpréter géométriquement le résultat.

8.c) La fonction $h$ est-elle dérivable au point 0 ? Justifier.

Corrigé

$f(0)=0$ et $f(x)=2x\ln x-2x$ pour $x>0$ , sur $[0,+\infty[$ (unité $1$ cm).

1) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$ .

Rappel

Croissance comparée :

\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=0

.

\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(2x\ln x-2x)=0=f(0)

.

⇒

f

est continue à droite au point

0

.

2.a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .

$f(x)=2x(\ln x-1)$ ; comme $x\to+\infty$ et $\ln x-1\to+\infty$ :

\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.}

2.b) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ et interpréter.

$\dfrac{f(x)}{x}=2\ln x-2\xrightarrow[x\to+\infty]{}+\infty$ .

⇒

(C_f)

admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en

+\infty

.

3.a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x}$ et interpréter.

\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}(2\ln x-2)=-\infty.

⇒

f

n'est pas dérivable à droite en

0

:

(C_f)

admet en

O

une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.

3.b) Montrer que $f'(x)=2\ln x$ pour $x>0$ .

f'(x)=(2x)'\ln x+2x(\ln x)'-2=2\ln x+2x\cdot\frac1x-2=2\ln x+2-2=\boxed{2\ln x}.

3.c) Tableau de variations de $f$ sur $[0,+\infty[$ .

Le signe de $f'(x)=2\ln x$ est celui de $\ln x$ : négatif sur $]0,1[$ , nul en $1$ , positif sur $]1,+\infty[$ . Minimum $f(1)=2\ln1-2=-2$ , et $f(0)=0$ , $\displaystyle\lim_{+\infty}f=+\infty$ .

\begin{center}

\end{center}

4.a) Résoudre $f(x)=0$ et $f(x)=x$ sur $]0,+\infty[$ .

$\bullet$ $f(x)=0\iff2x(\ln x-1)=0\iff\ln x=1\iff\boxed{x=e}$ (car $x>0$ ). $\bullet$ $f(x)=x\iff2x\ln x-2x=x\iff x(2\ln x-3)=0\iff\ln x=\dfrac32\iff\boxed{x=e^{3/2}}$ .

4.b) Construire $(C_f)$ (on prend $e\approx2{,}7$ , $e^{3/2}\approx4{,}5$ ).

Points clés : $(1\,;-2)$ (minimum, tangente horizontale), $(e\,;0)$ , $(e^{3/2}\,;e^{3/2})$ ; demi-tangente verticale descendante en $O$ . \emph{(La courbe verte $(C_{g^{-1}})$ ci-dessous est tracée à la question 7.)}

\begin{center}

\end{center}

5.a) Par intégration par parties, montrer $\displaystyle\int_1^e x\ln x\dx=\frac{1+e^2}{4}$ .

Rappel

IPP :

\displaystyle\int_a^b u\,v'=[u\,v]_a^b-\int_a^b u'\,v

.

On pose

u=\ln x

,

v'=x

, d'où

u'=\dfrac1x

,

v=\dfrac{x^2}{2}

. Alors

\int_1^e x\ln x\dx=\Big[\frac{x^2}{2}\ln x\Big]_1^e-\int_1^e\frac{x}{2}\dx =\frac{e^2}{2}-\Big[\frac{x^2}{4}\Big]_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\boxed{\frac{e^2+1}{4}}.

5.b) En déduire $\displaystyle\int_1^e f(x)\dx$ .

\int_1^e f(x)\dx=2\int_1^e x\ln x\dx-2\int_1^e x\dx=2\cdot\frac{e^2+1}{4}-\big[x^2\big]_1^e =\frac{e^2+1}{2}-(e^2-1)=\boxed{\frac{3-e^2}{2}}.

6.a) Déterminer le minimum de $f$ sur $]0,+\infty[$ .

D'après le tableau de variations, le minimum est atteint en $x=1$ :

⇒

\displaystyle\min_{]0,+\infty[}f=f(1)=-2

.

6.b) En déduire que $x\ln x\ge x-1$ pour tout $x>0$ .

Pour tout $x>0$ : $f(x)\ge-2$ , c'est-à-dire $2x\ln x-2x\ge-2$ , d'où (en divisant par $2$ ) $x\ln x-x\ge-1$ .

⇒

x\ln x\ge x-1

pour tout

x>0

.

7) $g$ est la restriction de $f$ à $[1,+\infty[$ .

7.a) Montrer que $g$ admet une réciproque $g^{-1}$ sur un intervalle $J$ à déterminer.

Sur $[1,+\infty[$ , $f$ est continue et strictement croissante, donc $g$ réalise une bijection de $[1,+\infty[$ sur $J=\big[g(1)\,;\,\lim_{+\infty}g\big[$ . Or $g(1)=f(1)=-2$ et $\lim_{+\infty}g=+\infty$ .

⇒

g^{-1}

est définie sur

J=[-2\,;+\infty[

.

7.b) \textit{Construire $(C_{g^{-1}})$ .}

C'est le symétrique de la partie de $(C_f)$ correspondant à $x\ge1$ par rapport à la droite $y=x$ — tracée ci-dessus (courbe verte), de $(-2\,;1)$ vers le haut.

8) $h(x)=\begin{cases}x^3+3x & \text{si }x\le0\\[2pt] 2x\ln x-2x & \text{si }x>0\end{cases}$

8.a) Continuité de $h$ en $0$ .

$\displaystyle\lim_{x\to0^-}h(x)=\lim_{x\to0^-}(x^3+3x)=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to0^+}h(x)=\lim_{x\to0^+}(2x\ln x-2x)=0$ . Les deux limites valent $h(0)=0$ .

⇒

h

est continue en

0

.

8.b) Dérivabilité à gauche en $0$ et interprétation.

\lim_{x\to0^-}\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{x^3+3x}{x}=\lim_{x\to0^-}(x^2+3)=3.

⇒

h

est dérivable à gauche en

0

, avec

h'_g(0)=3

:

(C_h)

admet en

O

une demi-tangente à gauche de coefficient directeur

3

.

8.c) $h$ est-elle dérivable en $0$ ?

À droite, $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{h(x)-h(0)}{x}=\lim_{x\to0^+}(2\ln x-2)=-\infty$ : $h$ n'est pas dérivable à droite en $0$ . Comme la dérivabilité à droite échoue (et $3\ne-\infty$ ) :

⇒

h

n'est pas dérivable au point

0

.