Chahd — Réussir le rattrapage du Bac scientifique

Exercice 1 (2.5 points)

Soit

(u_n)

la suite numérique définie par

u_0 = 2

et

u_{n+1} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}u_n + \frac{\sqrt{2}}{2}

pour tout

n \in \N

.

1.a) Montrer par récurrence que $u_n > 1$ pour tout $n \in \N$ .

1.b) Montrer que $u_{n+1} - u_n = -\frac{\sqrt{2}}{2}(u_n-1)$ pour tout $n \in \N$ , puis en déduire que $(u_n)$ est décroissante et convergente.

2) Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = u_n - 1$ pour tout $n \in \N$ .

2.a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $v_0 = 1$ .

2.b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , puis en déduire la limite de $(u_n)$ .

2.c) Calculer la somme $S = v_0 + v_1 + \dots + v_{2021}$ .

Corrigé

$(u_n)$ : $\;u_0=2\;$ et $\;u_{n+1}=\dfrac{2-\sqrt2}{2}\,u_n+\dfrac{\sqrt2}{2}$ . On pose $q=\dfrac{2-\sqrt2}{2}$ (avec $0<q<1$ ).

1.a) Montrer par récurrence que $u_n>1$ .

Initialisation. $u_0=2>1$ : vrai. [2pt] Hérédité. Supposons $u_n>1$ . On calcule $u_{n+1}-1$ :

u_{n+1}-1=\frac{2-\sqrt2}{2}u_n+\frac{\sqrt2}{2}-1=\frac{2-\sqrt2}{2}u_n-\frac{2-\sqrt2}{2}=\frac{2-\sqrt2}{2}(u_n-1).

Comme

\frac{2-\sqrt2}{2}>0

et

u_n-1>0

, on a

u_{n+1}-1>0

.

⇒ Pour tout

n\in\N

,

u_n>1

.

1.b) Calculer $u_{n+1}-u_n$ ; en déduire la monotonie et la convergence.

u_{n+1}-u_n=\Bigl(\frac{2-\sqrt2}{2}-1\Bigr)u_n+\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt2}{2}u_n+\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\,(1-u_n).

Comme

u_n>1

,

1-u_n<0

, donc

u_{n+1}-u_n<0

. La suite est décroissante et minorée par

1

:

⇒

(u_n)

est décroissante et convergente.

Remarque

L'énoncé écrit

u_{n+1}-u_n=\frac{\sqrt2-2}{2}(u_n-1)

: le coefficient est erroné. Le calcul donne

u_{n+1}-u_n=-\frac{\sqrt2}{2}(u_n-1)=\frac{\sqrt2}{2}(1-u_n)

.

2) $v_n=u_n-1$ .

2.a) Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\frac{2-\sqrt2}{2}$ , $v_0=1$ .

D'après 1.a, $v_{n+1}=u_{n+1}-1=\dfrac{2-\sqrt2}{2}(u_n-1)=q\,v_n$ , et $v_0=u_0-1=1$ .

⇒

(v_n)

est géométrique de raison

q=\dfrac{2-\sqrt2}{2}

et de premier terme

v_0=1

.

2.b) Exprimer $u_n$ , puis $\lim u_n$ .

$v_n=v_0\,q^n=\Bigl(\dfrac{2-\sqrt2}{2}\Bigr)^n$ , donc $u_n=1+\Bigl(\dfrac{2-\sqrt2}{2}\Bigr)^n$ . Comme $0<q<1$ , $q^n\to0$ :

⇒

u_n=1+\Bigl(\dfrac{2-\sqrt2}{2}\Bigr)^n

et

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1

.

2.c) Calculer $S=v_0+v_1+\dots+v_{2021}$ .

Rappel

Somme géométrique :

\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}q^k=\frac{1-q^N}{1-q}

(si

q\ne1

).

Ici

1-q=1-\dfrac{2-\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt2}{2}

, et il y a

2022

termes :

S=\frac{1-q^{2022}}{1-q}=\frac{1-q^{2022}}{\sqrt2/2}=\sqrt2\,\Bigl(1-\Bigl(\tfrac{2-\sqrt2}{2}\Bigr)^{2022}\Bigr).

Exercice 2 (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct

(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})

, on considère les points

A(1,-1,1)

et

B(5,1,-3)

. Soit

(S)

la sphère de centre

\Omega(3,0,-1)

et de rayon

R = 3

, et

(\Delta)

la droite passant par le point

A

et de vecteur directeur

\vec{u}(2,-2,1)

.

1.a) Calculer la distance $\Omega A$ .

1.b) Montrer que la droite $(\Delta)$ et la droite $(\Omega A)$ sont perpendiculaires.

1.c) En déduire la position relative de la droite $(\Delta)$ et de la sphère $(S)$ .

2) Soit $M_a(2a-3, 3-2a, a-1)$ où $a \in \R$ . Montrer que $\vec{AM_a} = (a-2)\vec{u}$ et en déduire que $M_a \in (\Delta)$ pour tout $a \in \R$ .

3.a) Vérifier que $2x - 2y + z - 9a + 13 = 0$ est une équation du plan $(P_a)$ passant par $M_a$ et perpendiculaire à la droite $(\Delta)$ .

3.b) Montrer que $d(\Omega, (P_a)) = |3a-6|$ .

3.c) Déterminer les deux valeurs de $a$ pour lesquelles le plan $(P_a)$ est tangent à la sphère $(S)$ .

Corrigé

$A(1,-1,1)$ , $B(5,1,-3)$ , sphère $(S)$ de centre $\Omega(3,0,-1)$ , $R=3$ ; $(\Delta)$ : par $A$ , dirigée par $\vec u(2,-2,1)$ .

1.a) Calculer $\Omega A$ .

$\vec{\Omega A}=(-2,-1,2)$ , donc $\Omega A=\sqrt{4+1+4}=\boxed{3}$ .

1.b) Montrer $(\Delta)\perp(\Omega A)$ .

$\vec u\cdot\vec{\Omega A}=2\cdot(-2)+(-2)(-1)+1\cdot2=-4+2+2=0$ .

⇒

(\Delta)\perp(\Omega A)

.

1.c) Position relative de $(\Delta)$ et $(S)$ .

$A$ vérifie $\Omega A=3=R$ donc $A\in(S)$ . Comme $A\in(\Delta)$ et $\vec{\Omega A}\perp\vec u$ , le projeté de $\Omega$ sur $(\Delta)$ est $A$ , donc $d(\Omega,(\Delta))=\Omega A=R$ .

⇒

(\Delta)

est tangente à

(S)

au point

A

.

2) $M_a(2a-3,3-2a,a-1)$ : montrer $\vec{AM_a}=(a-2)\vec u$ , en déduire $M_a\in(\Delta)$ .

\vec{AM_a}=(2a-4,\,4-2a,\,a-2)=(a-2)(2,-2,1)=(a-2)\vec u.

\vec{AM_a}

est colinéaire à

\vec u

et

A\in(\Delta)

.

⇒

M_a\in(\Delta)

pour tout

a\in\R

.

3.a) Vérifier que $(P_a):2x-2y+z-9a+13=0$ .

$(P_a)\perp(\Delta)$ a pour normal $\vec u(2,-2,1)$ , d'où $2x-2y+z+d=0$ . Avec $M_a\in(P_a)$ :

2(2a-3)-2(3-2a)+(a-1)+d=0\ \Longrightarrow\ 9a-13+d=0\ \Longrightarrow\ d=13-9a.

⇒

(P_a):\ 2x-2y+z-9a+13=0

.

3.b) Montrer $d(\Omega,(P_a))=|3a-6|$ .

d(\Omega,(P_a))=\frac{|2\cdot3-2\cdot0+(-1)-9a+13|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{|18-9a|}{3}=3|2-a|=|3a-6|.

3.c) Valeurs de $a$ pour lesquelles $(P_a)$ est tangent à $(S)$ .

Tangent $\iff d(\Omega,(P_a))=R=3$ :

|3a-6|=3\iff 3a-6=\pm3\iff a=3\ \text{ou}\ a=1.

⇒

a=1

ou

a=3

.

Exercice 3 (3 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

(O,\vec{u},\vec{v})

, on considère les points

A

,

B

et

C

d'affixes respectives :

z_A = 1+5i, \quad z_B = 1-5i \quad \text{et} \quad z_C = 5-3i

1) Déterminer l'affixe du point $D$ , milieu du segment $[AC]$ .

2) Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k = \frac{1}{2}$ . Déterminer l'affixe $z_E$ du point $E$ , image de $B$ par $h$ .

3) On considère la rotation $R$ de centre $C$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ . Déterminer l'image de $B$ par la rotation $R$ (on montrera que c'est $D$ ).

4) Soit $F$ le point d'affixe $z_F = -1 + i$ .

4.a) Vérifier que $\frac{z_D - z_E}{z_F - z_E} \times \frac{z_F - z_A}{z_D - z_A} = -1$ .

4.b) En déduire une mesure de l'angle $(\vec{EF}, \vec{ED}) + (\vec{AD}, \vec{AF}) \equiv \pi \pmod{2\pi}$ .

4.c) Déterminer la forme trigonométrique du nombre $\frac{z_A-z_F}{z_E-z_F}$ , et en déduire la nature du triangle $AEF$ .

4.d) En déduire que les points $A, D, E, F$ appartiennent à un même cercle dont on déterminera un diamètre.

Corrigé

$z_A=1+5i$ , $z_B=1-5i$ , $z_C=5-3i$ .

1) Affixe de $D$ , milieu de $[AC]$ .

z_D=\frac{z_A+z_C}{2}=\frac{(1+5i)+(5-3i)}{2}=\frac{6+2i}{2}=\boxed{3+i}.

2) $h$ homothétie de centre $A$ , rapport $\frac12$ ; affixe de $E=h(B)$ .

z_E=z_A+\tfrac12(z_B-z_A)=(1+5i)+\tfrac12(-10i)=1+5i-5i=\boxed{1}.

3) $R$ rotation de centre $C$ , angle $-\frac\pi2$ ; montrer $R(B)=D$ .

Rappel

z'-z_C=e^{-i\pi/2}(z_B-z_C)

, avec

e^{-i\pi/2}=-i

.

z_B-z_C=(1-5i)-(5-3i)=-4-2i

, donc

z'=z_C-i(z_B-z_C)=(5-3i)-i(-4-2i)=(5-3i)+(4i-2)=3+i=z_D.

⇒

R(B)=D

.

4) $z_F=-1+i$ .

4.a) Vérifier $\dfrac{z_D-z_E}{z_F-z_E}\times\dfrac{z_F-z_A}{z_D-z_A}=-1$ .

$z_D-z_E=2+i$ , $z_F-z_E=-2+i$ , $z_F-z_A=-2-4i$ , $z_D-z_A=2-4i$ . Alors

\frac{2+i}{-2+i}=\frac{(2+i)(-2-i)}{5}=\frac{-3-4i}{5},\quad \frac{-2-4i}{2-4i}=\frac{(-2-4i)(2+4i)}{20}=\frac{3-4i}{5}.

Le produit vaut

\dfrac{(-3-4i)(3-4i)}{25}=\dfrac{-25}{25}=-1

.

\checkmark

4.b) En déduire $(\vec{EF},\vec{ED})+(\vec{AD},\vec{AF})\equiv\pi\ (\mathrm{mod}\ 2\pi)$ .

En prenant l'argument du produit ( $=\arg(-1)=\pi$ ) :

\arg\frac{z_D-z_E}{z_F-z_E}+\arg\frac{z_F-z_A}{z_D-z_A}=(\vec{EF},\vec{ED})+(\vec{AD},\vec{AF})\equiv\pi.

4.c) Forme trigonométrique de $\dfrac{z_A-z_F}{z_E-z_F}$ et nature du triangle $AEF$ .

$z_A-z_F=2+4i$ et $z_E-z_F=2-i$ , donc

\frac{z_A-z_F}{z_E-z_F}=\frac{(2+4i)(2+i)}{5}=\frac{10i}{5}=2i=2\Bigl(\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2\Bigr).

Le quotient est imaginaire pur :

(\vec{FE},\vec{FA})=\dfrac\pi2

, et

FA=2\,FE

.

⇒ Le triangle

AEF

est rectangle en

F

.

Remarque

L'énoncé propose le rapport

\frac{z_F-z_E}{z_A-z_E}=\frac{1+2i}{5}

, dont l'argument

\arctan2

n'est pas remarquable : il donne l'angle en

E

. C'est le rapport en

F

(ci-dessus) qui révèle la nature du triangle.

4.d) En déduire que $A,D,E,F$ sont cocycliques ; un diamètre.

$AEF$ rectangle en $F$ $\Rightarrow$ $F$ est sur le cercle de diamètre $[AE]$ . De plus $\dfrac{z_A-z_D}{z_E-z_D}=\dfrac{-2+4i}{-2-i}=-2i$ est imaginaire pur, donc le triangle $ADE$ est aussi rectangle en $D$ : $D$ est sur ce même cercle.

⇒

A,D,E,F

appartiennent au cercle de diamètre

[AE]

(centre

1+\tfrac52 i

, rayon

\tfrac52

).

Exercice 4 (3 points)

Une urne contient trois boules blanches, quatre boules rouges et cinq boules vertes, indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.

1) On considère les événements suivants : [label=•]

$A$ : « Obtenir exactement deux boules rouges ».
$B$ : « Obtenir exactement une boule verte ».

1.a) Montrer que $p(A) = \frac{12}{55}$ et $p(B) = \frac{21}{44}$ .

1.b) Calculer $p(A|B)$ (la probabilité de $A$ sachant $B$ ). Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

2) Soit la variable aléatoire $X$ qui à chaque tirage associe le nombre de boules vertes tirées.

2.a) Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

2.b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux boules vertes.

Corrigé

Urne : $3$ blanches, $4$ rouges, $5$ vertes ( $12$ boules). Tirage simultané de $3$ : $\displaystyle\binom{12}{3}=220$ .

Remarque

L'énoncé indique « pics boules vertes » : il faut lire cinq boules vertes (

12

boules au total), ce que confirment les valeurs

p(A)=\frac{12}{55}

et

p(B)=\frac{21}{44}

.

1) $A$ : « exactement $2$ rouges » ; $B$ : « exactement $1$ verte ».

1.a) Montrer $p(A)=\frac{12}{55}$ , $p(B)=\frac{21}{44}$ .

p(A)=\frac{\binom42\binom81}{\binom{12}{3}}=\frac{6\times8}{220}=\frac{48}{220}=\frac{12}{55},\qquad p(B)=\frac{\binom51\binom72}{\binom{12}{3}}=\frac{5\times21}{220}=\frac{105}{220}=\frac{21}{44}.

1.b) Calculer $p(A\mid B)$ ; indépendance ?

$A\cap B$ : « $2$ rouges et $1$ verte » (donc $0$ blanche) : $\binom42\binom51=6\times5=30$ , soit $p(A\cap B)=\dfrac{30}{220}=\dfrac{3}{22}$ . Alors

p(A\mid B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}=\frac{3/22}{21/44}=\frac{3}{22}\times\frac{44}{21}=\frac{6}{21}=\boxed{\frac27}.

Comme

p(A\mid B)=\dfrac27\neq p(A)=\dfrac{12}{55}

:

⇒

A

et

B

ne sont pas indépendants.

2) $X$ : nombre de boules vertes tirées.

2.a) Loi de probabilité de $X$ . ( $X\in\{0,1,2,3\}$ , dénominateur $220$ .)

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline p(X=k) & \dfrac{\binom73}{220}=\dfrac{7}{44} & \dfrac{\binom51\binom72}{220}=\dfrac{21}{44} & \dfrac{\binom52\binom71}{220}=\dfrac{7}{22} & \dfrac{\binom53}{220}=\dfrac{1}{22}\\\hline \end{array}

(Vérification :

\frac{7}{44}+\frac{21}{44}+\frac{14}{44}+\frac{2}{44}=1

.)

2.b) Probabilité d'obtenir au moins deux vertes.

p(X\ge2)=p(X=2)+p(X=3)=\frac{7}{22}+\frac{1}{22}=\frac{8}{22}=\boxed{\frac{4}{11}}.

Problème (8.5 points)

On considère la fonction numérique

f

définie sur

]0, +\infty[

par :

f(x) = x^2(1 - \ln x)

Soit

(C_f)

sa courbe représentative dans un repère orthonormé

(O,\vec{i},\vec{j})

(unité : 1cm).

1) Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ et déterminer la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .

2.a) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$ .

2.b) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ puis interpréter le résultat géométriquement.

3.a) Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : $f'(x) = x(1 - 2\ln x)$ .

3.b) Dresser le tableau de variations de $f$ .

4.a) Sachant que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : $f''(x) = -2\ln x - 1$ , étudier le signe de $f''(x)$ .

4.b) En déduire que la courbe $(C_f)$ admet un unique point d'inflexion dont on déterminera l'abscisse.

5.a) Construire la courbe $(C_f)$ (on prendra $\sqrt{e} \approx 1.6$ ).

5.b) En utilisant la courbe $(C_f)$ , déterminer selon les valeurs du réel $k$ le nombre de solutions de l'équation $x^2(1-\ln x) = k$ .

6) On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = f(|x|)$ .

6.a) Montrer que la fonction $g$ est paire.

6.b) Construire $(C_g)$ la courbe représentative de $g$ dans le même repère.

7.a) En utilisant une intégration par parties, montrer que $\int_1^e x^2 \ln x \, \mathrm{d}x = \frac{2e^3+1}{9}$ .

7.b) En déduire la valeur de $\int_1^e f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Corrigé

$f(x)=x^2(1-\ln x)$ sur $]0,+\infty[$ (unité $1$ cm).

1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et branche infinie.

$1-\ln x\to-\infty$ et $x^2\to+\infty$ , donc $\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$ . De plus $\dfrac{f(x)}{x}=x(1-\ln x)\to-\infty$ .

⇒

(C_f)

admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en

+\infty

.

2.a) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$ .

Rappel

Croissance comparée :

\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0

.

\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x^2-x^2\ln x)=0=f(0)

.

⇒

f

est continue à droite en

0

.

2.b) Dérivabilité à droite en $0$ et interprétation.

\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}x(1-\ln x)=\lim_{x\to0^+}(x-x\ln x)=0.

⇒

f

est dérivable à droite en

0

,

f'_d(0)=0

:

(C_f)

admet en

O

une demi-tangente horizontale.

3.a) Montrer $f'(x)=x(1-2\ln x)$ .

f'(x)=2x(1-\ln x)+x^2\Bigl(-\frac1x\Bigr)=2x-2x\ln x-x=x(1-2\ln x).

3.b) Tableau de variations de $f$ .

$f'(x)=x(1-2\ln x)$ ; comme $x>0$ , le signe est celui de $1-2\ln x$ , qui s'annule en $x=\sqrt e$ ( $\ln x=\frac12$ ). Maximum $f(\sqrt e)=e\bigl(1-\frac12\bigr)=\dfrac e2$ .

\begin{center}

\end{center}

4.a) Étudier le signe de $f''(x)$ .

On calcule $f''(x)=\bigl(x(1-2\ln x)\bigr)'=(1-2\ln x)+x\Bigl(-\dfrac2x\Bigr)=-2\ln x-1$ . Donc $f''(x)>0\iff\ln x<-\dfrac12\iff 0<x<\dfrac1{\sqrt e}$ , et $f''(x)<0$ pour $x>\dfrac1{\sqrt e}$ .

Remarque

L'énoncé donne

f''(x)=-2\ln x-3

: c'est inexact. À partir de

f'(x)=x(1-2\ln x)

, on obtient

f''(x)=-2\ln x-1

.

4.b) En déduire le point d'inflexion.

$f''$ s'annule en changeant de signe uniquement en $x=\dfrac1{\sqrt e}$ .

⇒

(C_f)

admet un unique point d'inflexion, d'abscisse

\dfrac1{\sqrt e}=e^{-1/2}

(avec

f(\tfrac1{\sqrt e})=\tfrac{3}{2e}

).

5.a) Construire $(C_f)$ ( $\sqrt e\approx1{,}6$ ).

Points clés : demi-tangente horizontale en $O$ ; maximum $(\sqrt e\,;\frac e2)\approx(1{,}6\,;1{,}36)$ ; inflexion $(\frac1{\sqrt e}\,;\frac{3}{2e})\approx(0{,}61\,;0{,}55)$ ; $f(x)=0\iff x=e\approx2{,}72$ .

\begin{center}

\end{center}

5.b) Nombre de solutions de $x^2(1-\ln x)=k$ selon $k$ .

On compte les intersections de $(C_f)$ avec la droite horizontale $y=k$ :

⇒

\bullet

k>\frac e2

: aucune solution ;

\bullet

k=\frac e2

: une solution (

x=\sqrt e

) ;

⇒

\bullet

0<k<\frac e2

: deux solutions ;

\bullet

k\le0

: une solution.

6) $g(x)=f(|x|)$ sur $\R$ .

6.a) Montrer que $g$ est paire.

Pour tout $x\in\R$ (avec $x\neq0$ ), $g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)$ .

⇒

g

est paire.

6.b) Construire $(C_g)$ .

$(C_g)$ coïncide avec $(C_f)$ pour $x>0$ , et s'en déduit par symétrie par rapport à l'axe $(Oy)$ pour $x<0$ :

\begin{center}

\end{center}

7.a) Montrer $\displaystyle\int_1^e x^2\ln x\dx=\frac{2e^3+1}{9}$ (par parties).

On pose $u=\ln x$ , $v'=x^2$ , d'où $u'=\dfrac1x$ , $v=\dfrac{x^3}{3}$ :

\int_1^e x^2\ln x\dx=\Bigl[\frac{x^3}{3}\ln x\Bigr]_1^e-\int_1^e\frac{x^2}{3}\dx=\frac{e^3}{3}-\Bigl[\frac{x^3}{9}\Bigr]_1^e=\frac{e^3}{3}-\frac{e^3-1}{9}=\boxed{\frac{2e^3+1}{9}}.

7.b) En déduire $\displaystyle\int_1^e f(x)\dx$ .

\int_1^e f(x)\dx=\int_1^e x^2\dx-\int_1^e x^2\ln x\dx=\Bigl[\frac{x^3}{3}\Bigr]_1^e-\frac{2e^3+1}{9}=\frac{e^3-1}{3}-\frac{2e^3+1}{9}=\boxed{\frac{e^3-4}{9}}.