Bac Maths — Session de rattrapage 2024

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Exercice 1 (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct

(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})

, on considère les deux points

A(1,1,0)

\Omega(-1,1,-2)

, et le plan

(P)

d'équation

x + z - 1 = 0

1.a) Vérifier que $A$ est un point du plan $(P)$ et donner un vecteur normal de $(P)$ .

1.b) Montrer que la droite $(\Omega A)$ est perpendiculaire au plan $(P)$ .

2) Soit $(S)$ l'ensemble des points $M(x,y,z)$ de l'espace vérifiant : $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y + 4z - 3 = 0$ .

2.a) Montrer que $(S)$ est une sphère de centre $\Omega$ et déterminer son rayon.

2.b) Montrer que le plan $(P)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle de centre $A$ , puis déterminer son rayon.

3) Soit $(Q_m)$ le plan d'équation $x + y + mz - 2 = 0$ , où $m$ est un nombre réel.

3.a) Vérifier que $A$ appartient au plan $(Q_m)$ pour tout réel $m$ .

3.b) Déterminer la valeur du réel $m$ pour que le plan $(Q_m)$ soit perpendiculaire au plan $(P)$ .

3.c) Existe-t-il un plan $(Q_m)$ qui coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle de centre $A$ ? Justifier.

Corrigé

$A(1,1,0)$ , $\Omega(-1,1,-2)$ ; plan $(P):x+z-1=0$ .

1.a) Vérifier que $A\in(P)$ et donner un vecteur normal de $(P)$ .

En remplaçant les coordonnées de $A$ dans l'équation de $(P)$ : $1+0-1=0$ . Donc $A\in(P)$ .

Rappel

Pour un plan d'équation

ax+by+cz+d=0

, le vecteur

\vec n(a,b,c)

est normal au plan.

Ici

(P):1\cdot x+0\cdot y+1\cdot z-1=0

, donc un vecteur normal est

\boxed{\vec n(1,0,1)}

1.b) Montrer que $(\Omega A)\perp(P)$ .

$\vec{\Omega A}=(1-(-1),\,1-1,\,0-(-2))=(2,0,2)=2\,\vec n$ . Le vecteur $\vec{\Omega A}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec n$ de $(P)$ .

⇒ La droite

(\Omega A)

est perpendiculaire au plan

(P)

2) $(S):x^2+y^2+z^2+2x-2y+4z-3=0$ .

2.a) Montrer que $(S)$ est une sphère de centre $\Omega$ et donner son rayon.

Méthode

On regroupe par variable et on complète chaque carré :

x^2+2x=(x+1)^2-1

, etc.

(x+1)^2-1+(y-1)^2-1+(z+2)^2-4-3=0\ \Longrightarrow\ (x+1)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=9.

⇒

(S)

est la sphère de centre

\Omega(-1,1,-2)

et de rayon

\boxed{R=3}

2.b) Montrer que $(P)$ coupe $(S)$ selon un cercle de centre $A$ , et donner son rayon.

Rappel

d\bigl(M,\,ax+by+cz+d=0\bigr)=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

. Si

d<R

, le plan coupe la sphère selon un cercle de rayon

r=\sqrt{R^2-d^2}

d(\Omega,(P))=\frac{|-1+(-2)-1|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2.

Comme

(\Omega A)\perp(P)

A\in(P)

, le projeté orthogonal de

\Omega

sur

(P)

est exactement

A

: c'est donc le centre du cercle. Et

d=2\sqrt2<R=3

, donc l'intersection est un cercle de rayon

r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-8}=\boxed{1}.

3) $(Q_m):x+y+mz-2=0$ , $m\in\R$ .

3.a) Vérifier que $A\in(Q_m)$ pour tout $m$ .

$1+1+m\cdot0-2=0$ , vrai quel que soit $m$ .

⇒

A\in(Q_m)

pour tout

m\in\R

3.b) Déterminer $m$ pour que $(Q_m)\perp(P)$ .

Rappel

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

\vec n_P(1,0,1)

\vec n_Q(1,1,m)

\vec n_P\cdot\vec n_Q=1+0+m=0\ \Longrightarrow\ \boxed{m=-1}.

3.c) Existe-t-il un plan $(Q_m)$ coupant $(S)$ selon un cercle de centre $A$ ?

Méthode

Pour que le cercle soit centré en

A

, il faut que

A

soit le projeté orthogonal de

\Omega

sur

(Q_m)

, c'est-à-dire que

\vec{\Omega A}

soit normal à

(Q_m)

: donc

\vec n_Q

colinéaire à

\vec{\Omega A}

On cherche

m

tel que

\vec n_Q(1,1,m)

soit colinéaire à

\vec{\Omega A}(2,0,2)

. Or la deuxième coordonnée de

\vec n_Q

vaut

1\ne0

, alors que celle de

\vec{\Omega A}

vaut

0

: la colinéarité est impossible.

⇒ Il n'existe aucun plan

(Q_m)

coupant

(S)

selon un cercle de centre

A

Exercice 2 (4 points)

Partie I On considère dans l'ensemble

\C

l'équation

(E) : z^2 - 4z + 9 = 0

1) Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta = (2i\sqrt{5})^2$ .

2) Résoudre l'équation $(E)$ .

Partie II Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ , on considère les points $A, B$ et $C$ d'affixes respectives :

a = 2 + i\sqrt{5}, \quad b = 2 - i\sqrt{5} \quad \text{et} \quad c = 2 - \sqrt{5}

1.a) Vérifier que $|a| = 3$ .

1.b) Montrer que le triangle $OAB$ est isocèle.

2.a) Vérifier que $\frac{a-c}{b-c} = i$ .

2.b) En déduire la nature du triangle $ABC$ .

3.a) Déterminer l'affixe du point $D$ image de $B$ par la translation de vecteur $\vec{CA}$ .

3.b) Montrer que $ADBC$ est un carré.

4) On pose $x_n = \left(\frac{a}{3}\right)^n$ et $y_n = \frac{1}{1-x_n}$ pour tout $n \in \N^*$ .

4.a) Vérifier que $x_n \bar{x}_n = 1$ .

4.b) Montrer que $y_n + \bar{y}_n = 1$ , puis en déduire la partie réelle de $y_n$ .

Corrigé

Partie I : équation

(E):z^2-4z+9=0

1) Vérifier que $\Delta=(2i\sqrt5)^2$ .

\Delta=(-4)^2-4(1)(9)=16-36=-20,\qquad (2i\sqrt5)^2=4i^2\cdot5=-20.\quad\checkmark

2) Résoudre $(E)$ .

Comme $\Delta=(2i\sqrt5)^2<0$ , les racines sont conjuguées :

z_1=\frac{4+2i\sqrt5}{2}=\boxed{2+i\sqrt5},\qquad z_2=\bar z_1=\boxed{2-i\sqrt5}.

Partie II :

a=2+i\sqrt5

\ b=2-i\sqrt5

\ c=2-\sqrt5

1.a) Vérifier que $|a|=3$ . $|a|=\sqrt{2^2+(\sqrt5)^2}=\sqrt{4+5}=\sqrt9=\boxed{3}.$

1.b) Montrer que le triangle $OAB$ est isocèle.

$b=\bar a$ , donc $|b|=|a|=3$ , c'est-à-dire $OA=OB=3$ .

⇒ Le triangle

OAB

est isocèle en

O

2.a) Vérifier que $\dfrac{a-c}{b-c}=i$ .

a-c=(2+i\sqrt5)-(2-\sqrt5)=\sqrt5+i\sqrt5,\qquad b-c=(2-i\sqrt5)-(2-\sqrt5)=\sqrt5-i\sqrt5,

\frac{a-c}{b-c}=\frac{\sqrt5(1+i)}{\sqrt5(1-i)}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=\boxed{i}.

2.b) En déduire la nature du triangle $ABC$ .

Rappel

\dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C}

a pour module

\dfrac{CA}{CB}

et pour argument l'angle

(\vec{CB},\vec{CA})

\left|\dfrac{a-c}{b-c}\right|=|i|=1\Rightarrow CA=CB

; \

\arg\!\left(\dfrac{a-c}{b-c}\right)=\dfrac\pi2\Rightarrow(\vec{CB},\vec{CA})\equiv\dfrac\pi2

⇒ Le triangle

ABC

est rectangle isocèle en $C$ .

3.a) Affixe de $D$ , image de $B$ par la translation de vecteur $\vec{CA}$ .

Rappel

D

image de

B

par la translation de vecteur

\vec{CA}

\iff z_D-z_B=z_A-z_C

d=b+(a-c)=(2-i\sqrt5)+(\sqrt5+i\sqrt5)=\boxed{2+\sqrt5}.

3.b) Montrer que $ADBC$ est un carré.

De $d-b=a-c$ on tire $\vec{AD}=\vec{CB}$ (en effet $z_D-z_A=z_B-z_C$ ), donc $ADBC$ est un parallélogramme. Or, d'après la question 2, $CA=CB$ et $(\vec{CA},\vec{CB})$ est droit : ce parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux et un angle droit.

⇒

ADBC

est un carré.

4) $x_n=\left(\dfrac a3\right)^n$ , \ $y_n=\dfrac{1}{1-x_n}$ , \ $n\in\N^*$ .

4.a) Vérifier que $x_n\bar x_n=1$ .

x_n\bar x_n=\left(\frac a3\right)^n\left(\frac{\bar a}{3}\right)^n=\left(\frac{a\bar a}{9}\right)^n =\left(\frac{|a|^2}{9}\right)^n=\left(\frac99\right)^n=\boxed{1}.

4.b) Montrer que $y_n+\bar y_n=1$ , puis donner $\mathrm{Re}(y_n)$ .

Méthode

\bar y_n=\overline{\left(\dfrac{1}{1-x_n}\right)}=\dfrac{1}{1-\bar x_n}

. On additionne et on utilise

x_n\bar x_n=1

y_n+\bar y_n=\frac{1}{1-x_n}+\frac{1}{1-\bar x_n} =\frac{(1-\bar x_n)+(1-x_n)}{(1-x_n)(1-\bar x_n)} =\frac{2-(x_n+\bar x_n)}{1-(x_n+\bar x_n)+\underbrace{x_n\bar x_n}_{=1}}.

Comme

x_n\bar x_n=1

, le dénominateur est égal au numérateur :

y_n+\bar y_n=\frac{2-(x_n+\bar x_n)}{2-(x_n+\bar x_n)}=\boxed{1}.

Rappel

Pour tout complexe

z

z+\bar z=2\,\mathrm{Re}(z)

Donc

\mathrm{Re}(y_n)=\dfrac{y_n+\bar y_n}{2}=\boxed{\dfrac12}

(indépendant de

n

Exercice 3 (2 points)

Une urne contient huit boules indiscernables au toucher : quatre blanches, trois noires et une verte. On tire successivement et sans remise trois boules de l'urne.

1) Vérifier que le nombre de tirages possibles est égal à 336.

2) Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « Tirer trois boules blanches ».

3) Montrer que la probabilité de l'événement $B$ : « Tirer trois boules de même couleur » est $p(B) = \frac{5}{56}$ .

4) Calculer la probabilité de l'événement $C$ : « Obtenir au moins deux couleurs différentes ».

Corrigé

Urne : $4$ blanches, $3$ noires, $1$ verte ( $8$ boules). Tirage successif sans remise de $3$ boules.

1) Vérifier qu'il y a $336$ tirages possibles.

Rappel

Tirage successif sans remise et ordonné de

p

objets parmi

n

: nombre d'arrangements

A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}

A_8^3=8\times7\times6=\boxed{336}.

2) Probabilité de $A$ : « trois boules blanches ».

Arrangements de $3$ blanches parmi $4$ : $A_4^3=4\times3\times2=24$ .

p(A)=\frac{A_4^3}{336}=\frac{24}{336}=\boxed{\frac{1}{14}}.

3) Montrer que $p(B)=\dfrac{5}{56}$ ( $B$ : « trois boules de même couleur »).

Trois de même couleur $=$ trois blanches ( $A_4^3$ ) ou trois noires ( $A_3^3$ ) ; impossible pour le vert (une seule boule).

p(B)=\frac{A_4^3+A_3^3}{336}=\frac{24+6}{336}=\frac{30}{336}=\boxed{\frac{5}{56}}.

4) Probabilité de $C$ : « obtenir au moins deux couleurs différentes ».

$C$ est l'événement contraire de « trois boules de même couleur » $=B$ :

p(C)=1-p(B)=1-\frac{5}{56}=\boxed{\frac{51}{56}}.

Problème (11 points)

Partie I

1) Le graphique ci-contre représente les courbes $(C_g)$ et $(C_h)$ des fonctions $g: x \mapsto \frac{x}{1+x}$ et $h: x \mapsto \ln(1+x)$ définies sur $]-1, +\infty[$ , et la droite d'équation $y = x$ .

1.a) À partir du graphique, justifier que $\frac{x}{1+x} \le \ln(1+x) \le x$ pour tout $x \in ]-1, +\infty[$ .

[Figure — voir le PDF]

[start=2]

1.a) En déduire que $(1+x)\ln(1+x) - x \ge 0$ pour tout $x \in ]-1, +\infty[$ .

1.b) Prouver que $e^x - (1+e^x)\ln(1+e^x) \le 0$ pour tout $x \in \R$ .

2) Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = g(u_n)$ pour tout $n \in \N$ .

2.a) Montrer par récurrence que $0 < u_n \le 1$ pour tout $n \in \N$ .

2.b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

2.c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

2.d) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

Partie II On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = e^{-x}\ln(1+e^x)$ . Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

1.a) Calculer $f(0)$ et vérifier que $f(x) > 0$ pour tout $x \in \R$ .

1.b) Montrer que $f(x) = \frac{\ln(1+e^x)}{e^x}$ et en déduire que $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 1$ . Interpréter géométriquement.

1.c) Montrer que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$ et interpréter géométriquement.

2.a) Montrer que pour tout $x \in \R$ : $f'(x) = e^{-x}\left(\frac{e^x}{1+e^x} - \ln(1+e^x)\right)$ .

2.b) Vérifier que pour tout $x \in \R$ : $f'(x) = \frac{e^x - (1+e^x)\ln(1+e^x)}{e^x(1+e^x)}$ .

2.c) En déduire que $f$ est strictement décroissante sur $\R$ .

3.a) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $0$ .

3.b) Vérifier que $(T)$ passe par le point $A\left(1, \frac{1}{2}\right)$ .

3.c) Construire $(T)$ et $(C_f)$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ (on prendra $\ln 2 \approx 0.7$ ).

4.a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.

4.b) Vérifier que $f^{-1}$ est dérivable en $\ln 2$ et calculer $(f^{-1})'(\ln 2)$ .

5) Soit $\lambda$ un réel strictement positif.

5.a) Vérifier que $\frac{e^{-x}}{1+e^x} = \frac{e^{-2x}}{1+e^{-x}}$ .

5.b) Montrer que $\int_0^\lambda \frac{1}{1+e^x} \, \mathrm{d}x = \ln(2) - \ln(1+e^{-\lambda})$ .

5.c) Montrer que $\int_0^\lambda f(x) \, \mathrm{d}x = \ln(2) - f(\lambda) + \int_0^\lambda \frac{1}{1+e^x} \, \mathrm{d}x$ .

5.d) En déduire, en fonction de $\lambda$ , l'aire $\mathcal{A}(\lambda)$ délimitée par $(C_f)$ , l'axe des abscisses, et les droites $x = 0$ et $x = \lambda$ .

5.e) Calculer $\lim\limits_{\lambda \to +\infty} \mathcal{A}(\lambda)$ .

Corrigé

Partie I : inégalités et suite

(u_n)

$g(x)=\dfrac{x}{1+x}$ , \ $h(x)=\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$ .

1.a) Justifier graphiquement que $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$ sur $]-1,+\infty[$ .

\begin{center}

\end{center}

Sur $]-1,+\infty[$ , la courbe $(C_h)$ du logarithme est située au-dessus de $(C_g)$ et au-dessous de la droite $y=x$ . On lit donc directement :

\boxed{\ \frac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x\quad\text{pour tout }x\in\,]-1,+\infty[.\ }

1.b) En déduire que $(1+x)\ln(1+x)-x\ge0$ sur $]-1,+\infty[$ .

On part de $\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)$ et on multiplie par $1+x>0$ (car $x>-1$ ) :

x\le(1+x)\ln(1+x)\ \Longrightarrow\ \boxed{(1+x)\ln(1+x)-x\ge0}.

1.c) Prouver que $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\le0$ pour tout $x\in\R$ .

Méthode

On applique l'inégalité précédente avec le réel

X=e^x>0

(qui appartient bien à

]-1,+\infty[

Pour

X=e^x>0

(1+e^x)\ln(1+e^x)-e^x\ge0

, soit

\boxed{e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\le0}\qquad\text{pour tout }x\in\R.

2) $(u_n)$ : $u_0=1$ , $u_{n+1}=g(u_n)=\dfrac{u_n}{1+u_n}$ .

2.a) Montrer que $0<u_n\le1$ pour tout $n\in\N$ .

Initialisation. $u_0=1$ , donc $0<u_0\le1$ . Hérédité. Supposons $0<u_n\le1$ . Alors $1+u_n>1>0$ , donc $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}>0$ ; de plus $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}<u_n\le1$ .

⇒ Par récurrence,

0<u_n\le1

pour tout

n\in\N

2.b) Montrer que $(u_n)$ est décroissante.

u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{1+u_n}-u_n=\frac{u_n-u_n(1+u_n)}{1+u_n}=\frac{-u_n^2}{1+u_n}<0.

⇒ La suite

(u_n)

est strictement décroissante.

2.c) En déduire que $(u_n)$ converge.

$(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$ : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge.

2.d) Déterminer la limite de $(u_n)$ .

La limite $\ell$ vérifie $\ell\in[0,1]$ et $g(\ell)=\ell$ (car $g$ est continue) :

\frac{\ell}{1+\ell}=\ell\ \Longrightarrow\ \ell=\ell(1+\ell)\ \Longrightarrow\ \ell^2=0\ \Longrightarrow\ \boxed{\ell=0}.

Partie II : étude de

f(x)=e^{-x}\ln(1+e^x)

1.a) Calculer $f(0)$ et vérifier que $f(x)>0$ sur $\R$ .

$f(0)=e^{0}\ln(1+e^{0})=\ln 2$ . Pour tout $x$ : $e^{-x}>0$ et $1+e^x>1\Rightarrow\ln(1+e^x)>0$ .

⇒

f(0)=\boxed{\ln 2}

\ et \

f(x)>0

pour tout

x\in\R

1.b) Montrer que $f(x)=\dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}$ , et en déduire $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=1$ .

Comme $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$ , on a immédiatement $f(x)=\dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}$ .

Rappel

Limite usuelle :

\displaystyle\lim_{X\to0}\frac{\ln(1+X)}{X}=1

On pose

X=e^x

: quand

x\to-\infty

X\to0^+

, donc

\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{X\to0^+}\frac{\ln(1+X)}{X}=\boxed{1}.

⇒ La droite

y=1

est asymptote horizontale à

(C_f)

au voisinage de

-\infty

Remarque

L'énoncé laisse ici un emplacement vide (« Montrer que \dots ») : la quantité à établir est précisément

f(x)=\dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}

, qui ramène la limite à la limite usuelle ci-dessus.

1.c) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ et interpréter.

Avec $X=e^x\to+\infty$ : \ $f(x)=\dfrac{\ln(1+e^x)}{e^x}$ , et par croissances comparées $\dfrac{\ln(1+X)}{X}\to0$ (car $\ln(1+X)\sim\ln X$ et $\dfrac{\ln X}{X}\to0$ ). Donc

\lim_{x\to+\infty}f(x)=\boxed{0}.

⇒ La droite

y=0

(axe des abscisses) est asymptote horizontale au voisinage de

+\infty

2.a) Montrer que $f'(x)=e^{-x}\!\left(\dfrac{e^x}{1+e^x}-\ln(1+e^x)\right)$ .

Rappel

(uv)'=u'v+uv'

, avec ici

u=e^{-x}

(

u'=-e^{-x}

) et

v=\ln(1+e^x)

\bigl(v'=\tfrac{e^x}{1+e^x}\bigr)

f'(x)=-e^{-x}\ln(1+e^x)+e^{-x}\cdot\frac{e^x}{1+e^x} =\boxed{e^{-x}\!\left(\frac{e^x}{1+e^x}-\ln(1+e^x)\right)}.

2.b) Vérifier que $f'(x)=\dfrac{e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)}{e^x(1+e^x)}$ .

On réduit la parenthèse au même dénominateur $1+e^x$ , puis on utilise $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$ :

f'(x)=e^{-x}\cdot\frac{e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)}{1+e^x} =\boxed{\frac{e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)}{e^x(1+e^x)}}.

2.c) En déduire que $f$ est strictement décroissante sur $\R$ .

Le dénominateur $e^x(1+e^x)>0$ , et d'après la Partie I-1.c, le numérateur $e^x-(1+e^x)\ln(1+e^x)\le0$ (et même $<0$ car $e^x>0$ ). Donc $f'(x)<0$ sur $\R$ .

⇒

f

est strictement décroissante sur

\R

\begin{center}

\end{center}

2.d) [](Les limites $1$ en $-\infty$ et $0$ en $+\infty$ donnent les bornes des variations.)

3.a) Équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ en $0$ .

Rappel

(T):\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

. Ici

x_0=0

f'(0)=\dfrac{e^0-(1+e^0)\ln(1+e^0)}{e^0(1+e^0)}=\dfrac{1-2\ln2}{2}=\dfrac12-\ln2

, et

f(0)=\ln2

. D'où

(T):\ y=\Bigl(\tfrac12-\ln2\Bigr)x+\ln2.

3.b) Vérifier que $(T)$ passe par $A\!\left(1,\tfrac12\right)$ .

Pour $x=1$ : $y=\Bigl(\tfrac12-\ln2\Bigr)+\ln2=\dfrac12$ .

⇒

A\!\left(1,\tfrac12\right)\in(T)

3.c) Construire $(T)$ et $(C_f)$ .

\begin{center}

\end{center} (

\,(C_f)

décroît de l'asymptote

y=1

vers l'asymptote

y=0

;

(T)

est tangente en

(0,\ln2)

4.a) Montrer que $f$ admet une réciproque $f^{-1}$ sur un intervalle $J$ .

$f$ est continue et strictement décroissante sur $\R$ , avec $\displaystyle\lim_{-\infty}f=1$ et $\displaystyle\lim_{+\infty}f=0$ . Elle réalise donc une bijection de $\R$ sur $f(\R)$ .

⇒

f

admet une réciproque

f^{-1}

définie sur

J=\boxed{\,]0,1[\,}

4.b) Vérifier que $f^{-1}$ est dérivable en $\ln2$ et calculer $(f^{-1})'(\ln2)$ .

Rappel

f'(x_0)\ne0

, alors

f^{-1}

est dérivable en

y_0=f(x_0)

(f^{-1})'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}

On a

f(0)=\ln2

, donc

f^{-1}(\ln2)=0

, et

f'(0)=\dfrac12-\ln2\ne0

. Ainsi

(f^{-1})'(\ln2)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{\frac12-\ln2}=\boxed{\frac{2}{1-2\ln2}}.

5) Soit $\lambda>0$ .

5.a) \textit{Vérifier que $\dfrac{e^{-x}}{1+e^x}=\dfrac{e^{-2x}}{1+e^{-x}}$ .}

On factorise $e^x$ au dénominateur :

\frac{e^{-x}}{1+e^x}=\frac{e^{-x}}{e^x\bigl(e^{-x}+1\bigr)}=\frac{e^{-x}}{e^x}\cdot\frac{1}{1+e^{-x}} =\boxed{\frac{e^{-2x}}{1+e^{-x}}}.

Remarque

L'énoncé contient ici une rature («

=\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}

? Non\dots ? Ah! »). Seule la dernière écriture,

\dfrac{e^{-x}}{1+e^x}=\dfrac{e^{-2x}}{1+e^{-x}}

, est correcte.

5.b) Montrer que $\displaystyle\int_0^\lambda\frac{1}{1+e^x}\dx=\ln2-\ln(1+e^{-\lambda})$ .

Méthode

On multiplie par

\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}}

pour faire apparaître la dérivée du dénominateur :

\dfrac{1}{1+e^x}=\dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+1}=\dfrac{-(e^{-x}+1)'}{e^{-x}+1}

\int_0^\lambda\frac{1}{1+e^x}\dx=\int_0^\lambda\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}\dx =\Bigl[-\ln(e^{-x}+1)\Bigr]_0^\lambda=-\ln(1+e^{-\lambda})+\ln2.

⇒

\displaystyle\int_0^\lambda\frac{1}{1+e^x}\dx=\ln2-\ln(1+e^{-\lambda})

5.c) Montrer que $\displaystyle\int_0^\lambda f(x)\dx=\ln2-f(\lambda)+\int_0^\lambda\frac{1}{1+e^x}\dx$ .

Méthode

Intégration par parties avec

u=\ln(1+e^x)

v'=e^{-x}

, donc

u'=\dfrac{e^x}{1+e^x}

v=-e^{-x}

\int_0^\lambda f(x)\dx=\Bigl[-e^{-x}\ln(1+e^x)\Bigr]_0^\lambda+\int_0^\lambda e^{-x}\cdot\frac{e^x}{1+e^x}\dx.

Le crochet vaut

-e^{-\lambda}\ln(1+e^\lambda)+\ln2=-f(\lambda)+\ln2

, et

e^{-x}\dfrac{e^x}{1+e^x}=\dfrac{1}{1+e^x}

; d'où

\boxed{\int_0^\lambda f(x)\dx=\ln2-f(\lambda)+\int_0^\lambda\frac{1}{1+e^x}\dx}.

5.d) En déduire l'aire $\mathcal A(\lambda)$ délimitée par $(C_f)$ , l'axe des abscisses, $x=0$ et $x=\lambda$ .

Comme $f>0$ , l'aire est $\displaystyle\mathcal A(\lambda)=\int_0^\lambda f(x)\dx$ . En combinant les deux questions précédentes :

\mathcal A(\lambda)=\ln2-f(\lambda)+\bigl(\ln2-\ln(1+e^{-\lambda})\bigr) =\boxed{2\ln2-f(\lambda)-\ln(1+e^{-\lambda})}\ \text{u.a.}

5.e) Calculer $\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}\mathcal A(\lambda)$ .

Quand $\lambda\to+\infty$ : $f(\lambda)\to0$ (question 1.c) et $\ln(1+e^{-\lambda})\to\ln1=0$ . Donc

\lim_{\lambda\to+\infty}\mathcal A(\lambda)=\boxed{2\ln2}\ \text{u.a.}